Εύρεση τιμής

erxmer · #1

Θεωρούμε το τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α,β,γ και στις ημιευθείες ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ τα σημεία Α', Β', Γ' ώστε
ΒΑ'=κα, ΓΒ'=κβ, ΑΓ'=κγ, κ>1 πραγματικός αριθμός. Να βρεθεί το κ ώστε (Α'Β'Γ')=19(ΑΒΓ).

#2

Στο παρακάτω σχήμα τα τρίγωνα $\displaystyle{ \vartriangle {\rm B}{\rm A}{'}\Gamma{'},\vartriangle {\rm B}{\rm A}\Gamma }$ έχουν δύο γωνίες παραπληρωματικές $\displaystyle{ \left( {\widehat{\Gamma{'}{\rm B}{\rm A}{'}} + \widehat{\Gamma {\rm B}{\rm A}} = 180^0 } \right) }$

«οπότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές» δηλαδή

$\displaystyle{ \frac{{\left( {\Gamma{'}{\rm B}{\rm A}{'}} \right)}} {{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} = \frac{{{\rm B}\Gamma{'} \cdot {\rm B}{\rm A}{'}}} {{{\rm B}\Gamma \cdot {\rm B}{\rm A}}} = \frac{{\kappa \alpha \cdot \left( {\kappa - 1} \right)\gamma }} {{\alpha \cdot \gamma }} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {\Gamma{'}{\rm B}{\rm A}{'}} \right)}} {{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} = \kappa \left( {\kappa - 1} \right)}:\left( 1 \right) }$ . Ομοίως βρίσκουμε $\displaystyle{ \boxed{\frac{{\left( {{\rm A}{'}\Gamma {\rm B}{'}} \right)}} {{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} = \kappa \left( {\kappa - 1} \right)}:\left( 2 \right),\boxed{\frac{{\left( {{\rm B}{'}{\rm A}\Gamma{'}} \right)}} {{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} = \kappa \left( {\kappa - 1} \right)}:\left( 3 \right) }$ .

Με πρόσθεση των σχέσεων $\displaystyle{ \left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \frac{{\left( {\Gamma{'}{\rm B}{\rm A}{'}} \right)}} {{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} + \frac{{\left( {{\rm A}{'}\Gamma {\rm B}{'}} \right)}} {{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} + \frac{{\left( {{\rm B}{'}{\rm A}\Gamma{'}} \right)}} {{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} = 3\kappa \left( {\kappa - 1} \right) \Rightarrow \frac{{\left( {{\rm B}{'}{\rm A}\Gamma{'}} \right) + \left( {\Gamma{'}{\rm B}{\rm A}{'}} \right) + \left( {{\rm B}{'}{\rm A}\Gamma{'}} \right)}} {{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} = 3\kappa \left( {\kappa - 1} \right) }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \frac{{\left( {{\rm A}{'}{\rm B}{'}\Gamma{'}} \right) - \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} {{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} = 3\kappa \left( {\kappa - 1} \right) \Rightarrow \frac{{\left( {{\rm A}{'}{\rm B}{'}\Gamma{'}} \right)}} {{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} - \frac{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} {{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} = 3\kappa \left( {\kappa - 1} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {{\rm A}{'}{\rm B}'\Gamma{'}} \right) = 19\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)} \frac{{19\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} {{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} - 1 = 3\kappa \left( {\kappa - 1} \right) }$

$\displaystyle{ \Rightarrow 18 = 3\kappa \left( {\kappa - 1} \right) \Leftrightarrow \kappa \left( {\kappa - 1} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow \kappa ^2 - \kappa - 6 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\kappa > 1} \boxed{\kappa = 3} }$

Στάθης

erxmer · #3

Eξαιρετικά. Αναλυτικά γρήγορα και με χρωματιστό σχήμα.

Εύρεση τιμής

Εύρεση τιμής

Re: Εύρεση τιμής

Re: Εύρεση τιμής

Μέλη σε σύνδεση