Οκτάεδρο

erxmer · #1

Σε περιφέρεια ακτίνας ρ περιγράφουμε κανονικό οκτάγωνο ΑΒΓΔΕΖΗΘ. Οι κορυφές Α, Γ, Ε, Η αποτελούν κορυφές κανονικού οκταέδρου. Να βρεθούν:

1) Ο λόγος $\lambda _1$ του εμβαδού του οκταγώνου προς το εμβαδό της επιφάνειας του οκταέδρου

2) Ο λόγος $\lambda _2$ του όγκου του οκταέδρου προς τον όγκο της περιγεγραμμένης στο οκτάεδρο σφαίρας

3) Ο λόγος $\lambda _3$ της πλεράς του οκταγώνου προς την ακτίνα της εγγεγραμμένης στο οκτάεδρο σφαίρας

Υγ άνευ λύσεως

#2

Αν $\displaystyle \rho$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου στο κανονικό οκτάγωνο κύκλου τότε είναι:
$\displaystyle OM=\rho$
$\displaystyle \lambda _{8\epsilon \delta \rho o}=AH=\rho \sqrt{2}$
$\displaystyle \lambda _{8\gamma \omega \nu o}=AB=\rho \sqrt{2-\sqrt{2}}$ (Από νόμο συνημιτόνων)
$\displaystyle E_{8\gamma \omega \nu o}=8.E_{OAB}=8.\frac{1}{2}\rho ^2sin\frac{\pi }{4}=2\rho ^2\sqrt{2}$
$\displaystyle E_{8\epsilon \delta \rho o}=8.E_{MEH}=8.\frac{(\rho \sqrt{2})^2.\sqrt{3}}{4}=4\rho ^2\sqrt{3}$
$\displaystyle V_{8\epsilon \delta \rho o}=2.V_{M.A\Gamma EH}=2.\frac{1}{3}E_{A\Gamma EH}.OM=2.\frac{1}{3}(\rho \sqrt{2})^2.\rho =\frac{4}{3}\rho ^3$
$\displaystyle V_{\sigma \varphi \alpha \iota \rho \alpha \varsigma }=\frac{4}{3}\pi \rho ^3$
και τέλος με απλό λογισμό με το πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκεται:
$\displaystyle \rho _{\epsilon \gamma \gamma .\sigma \varphi }=OT=\rho \frac{\sqrt{3}}{3}$

Από τους ανωτέρω τύπους έχουμε:

1) $\displaystyle \lambda _1=\frac{E_{8\gamma \omega \nu o}}{E_{8\epsilon \delta \rho o}}=\frac{2\sqrt{2}\rho ^2}{4\sqrt{3}\rho ^2}=\frac{\sqrt{6}}{6}$

2) $\displaystyle \lambda _2=\frac{V_{8\epsilon \delta \rho o}}{V_{8\sigma \varphi \alpha \iota \rho \alpha\varsigma }}=\frac{\frac{4}{3}\rho ^3}{\frac{4}{3}\pi \rho ^3}=\frac{1}{\pi }$

3) $\displaystyle \lambda _3=\frac{\lambda _{8\gamma \omega \nu o}}{\rho_{ \epsilon \gamma \gamma .\sigma \varphi \alpha \iota \rho \alpha \varsigma} }=\sqrt{6-3\sqrt{2}}$

Κώστας Δόρτσιος

Οκτάεδρο

Οκτάεδρο

Re: Οκτάεδρο

Μέλη σε σύνδεση