Ογκος

erxmer · #1

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC, A=90

μοίρες και την εφαπτομένη $(\varepsilon )$ της περιγεγραμμένης του περιφέρειας στο

. Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που παράγεται απο το ABC

, όταν περιστραφεί περι την $(\varepsilon )$ , συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου.

Υγ άλυτη απο Ντάνη

Math Rider · #2

Μια προσέγγιση (ελπίζω να ειναι σωστή):

: Όγκος.png (10.46 KiB) Προβλήθηκε 478 φορές

Θα χρησιμοποιήσουμε το (δεύτερο) θεώρημα του Πάππου:
Αν ένα επίπεδο σχήμα περιστραφεί πλήρως γύρω από άξονα του επιπέδου του,
ο οποίος δεν έχει κοινά εσωτερικά σημεία με το σχήμα, τότε ο όγκος του
στερεού που προκύπτει από την περιστροφή ισούται με το γινόμενο του
εμβαδού του σχήματος επί το μήκος του κύκλου που διαγράφει το κέντρο βάρους του σχήματος.
Συνοπτικά: $\displaystyle{ V = {\rm E} \cdot 2\pi \cdot \rho }$ , όπου $\displaystyle{ {\rm E} }$ το εμβαδό του σχήματος και $\displaystyle{ \rho }$ η απόσταση του κέντρου
βάρους του σχήματος από τον άξονα περιστροφής
(Από το προηγούμενο βιβλίο Γεωμετρίας Θωμαϊδης, Ξένος, Πούλος, εδώ Σελ.343) ή εδώ

Είναι $\displaystyle{ {\rm E} = ({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = \frac{{bc}}{2} }$ και $\displaystyle{ \rho = \frac{2}{3}\mu _a = \frac{2}{3}\frac{a}{2} = \frac{a}{3} }$

Επομένως ο ζητούμενος όγκος είναι $\displaystyle{ V = {\rm E} \cdot 2\pi \cdot \rho = \frac{{bc}}{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{a}{3} = \frac{{abc}}{3}\pi }$ .

Math Rider · #3

Και μια γεωμετρική λύση:

: Όγκος 2.png (16.14 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές

Eστω $\displaystyle{ F,E }$ τα ίχνη των $\displaystyle{ B,C }$ στην $\displaystyle{ (\varepsilon ) }$ και $\displaystyle{ FB = r }$ , $\displaystyle{ EC = R }$
Είναι $\displaystyle{ h_1 = AF = AE = h_2 }$ (από θεώρημα Θαλή).

Οπότε αν ονομάσουμε $\displaystyle{ V_1 }$ , $\displaystyle{ V_2 }$ , $\displaystyle{ V_3 }$ , τους όγκους που προκύπτουν από την περιστροφή του τραπεζίου $\displaystyle{ BCEF }$
και των τριγώνων $\displaystyle{ ABF }$ και $\displaystyle{ AEC }$ αντίστοιχα, περί την $\displaystyle{ (\varepsilon ) }$ και $\displaystyle{ V }$ τον ζητούμενο όγκο έχουμε:

$\displaystyle{ V = V_1 - V_2 - V_3 = \frac{{\pi (R^2 + Rr + r^2 )(h{}_1 + h{}_2)}}{3} - \frac{{\pi r^2 h{}_1}}{3} - \frac{{\pi R^2 h{}_2}}{3} = }$

$\displaystyle{ \frac{{\pi (R^2 + Rr + r^2 )(2h{}_1)}}{3} - \frac{{\pi r^2 h{}_1}}{3} - \frac{{\pi R^2 h{}_1}}{3} = }$

$\displaystyle{ \frac{\pi }{3}h_1 \left( {2(R^2 + Rr + r^2 ) - r^2 - R^2 } \right) = }$

$\displaystyle{ \frac{\pi }{3}h_1 (R^2 + 2Rr + r^2 ) }$

Άρα $\displaystyle{ V = \frac{\pi }{3}h_1 (R + r)^2 }$ (1)

Από την ομοιότητα (ίσες γωνίες) των τριγωνων $\displaystyle{ ABF }$ και $\displaystyle{ ABC }$ είναι $\displaystyle{ \frac{{h_1 }}{c} = \frac{b}{a} \Rightarrow h_1 = \frac{{bc}}{a} }$ (2) και $\displaystyle{ \frac{r}{c} = \frac{c}{a} \Rightarrow r = \frac{{c^2 }}{a} }$ (3)

Από την ομοιότητα (ίσες γωνίες) των τριγωνων $\displaystyle{ AEC }$ και $\displaystyle{ ABC }$ είναι $\displaystyle{ \frac{R}{b} = \frac{b}{a} \Rightarrow R = \frac{{b^2 }}{a} }$ (4)

Επομένως αντικαθιστώντας τις (2), (3), (4) στην (1) παίρνουμε:

$\displaystyle{ V = \frac{\pi }{3}h_1 (R + r)^2 = \frac{\pi }{3} \cdot \frac{{bc}}{a} \cdot \left( {\frac{{b^2 + c^2 }}{a}} \right)^2 = \frac{\pi }{3} \cdot \frac{{bc}}{a} \cdot \left( {\frac{{a^2 }}{a}} \right)^2 = \frac{\pi }{3} \cdot \frac{{bc}}{a} \cdot a^2 = \frac{{abc}}{3}\pi }$

Ογκος

Ογκος

Re: Ογκος

Re: Ογκος

Μέλη σε σύνδεση