Ρόμβος

erxmer · #1

Εστω ρόμβος ABCD

και

τα περίκεντρα των τριγώνων BCD, BAD, ABC, ACD

αντίστοιχα. να δειχθεί οτι αυτά τα σημεία είναι κορυφές ρόμβου όμοιου προς τον δοθέντα και να βρεθεί και ο αντίστοιχος λόγος.

Γιώργος Απόκης · #2

Θεωρώ ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με αρχή το κέντρο του ρόμβου και άξονες τους φορείς των διαγωνίων του.

Aν οι διαγώνιοι έχουν μήκη 2a,2b

(με

) και η πλευρά του έχει μήκος

, τότε

.

Tα περίκεντρα θα είναι σημεία των αξόνων αφού οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες. Για το

ισχύει $\displaystyle{BE=EC\Leftrightarrow \sqrt{a^2+y_E ^2}=-b-y_E \Leftrightarrow y_E=\frac{a^2-b^2}{2b}} }$ .

Δηλ. $\displaystyle{E\left(0,\frac{a^2-b^2}{2b}\right)}$ . Oμοίως προκύπτουν: $\displaystyle{F\left(0,\frac{b^2-a^2}{2b}\right),G\left(\frac{b^2-a^2}{2a},0\right),H\left(\frac{a^2-b^2}{2a},0\right)}$ .

Είναι φανερό ότι το EGFH

είναι ρόμβος αφού οι διαγώνιοι είναι κάθετες, διχοτομούνται και διχοτομούν τις γωνίες.

Αν

η πλευρά του EGFH

, τότε $\displaystyle{q=\sqrt{\left(\frac{b^2-a^2}{2b}\right)^2+\left(\frac{b^2-a^2}{2a}\right)^2}=(b^2-a^2)\sqrt{\frac{1}{4b^2}+\frac{1}{4a^2}}=p\cdot \frac{b^2-a^2}{2ab}}$ .

Επομένως, οι πλευρές έχουν λόγο $\displaystyle{\frac{q}{p}=\frac{b^2-a^2}{2ab}}$ : σταθερό.

Τα τρίγωνα AOD,OFG

είναι όμοια ως ορθογώνια και με $\displaystyle{\frac{AO}{OD}=\frac{GO}{OF}=\frac{b}{a}}$ , άρα θα έχουν και $\hat{A}_1=\hat{G}_1 \Leftrightarrow \widehat{BAD}=\widehat{FGE}$ .

Tελικά, οι ρόμβοι είναι όμοιοι με λόγο ομοιότητας $\displaystyle{\lambda=\frac{q}{p}=\frac{b^2-a^2}{2ab}}$ .

Σημ. Aς μου επιτρέψει ο erxmer να βάλω ένα έξτρα ερώτημα: Ποιά πρέπει να είναι η σχέση των a,b

ώστε οι ρόμβοι να είναι ίσοι;

Γιώργος Απόκης · #3

Nα απαντήσω στο (απλό) τελευταίο ερώτημα:

Για να είναι ίσοι, πρέπει $p=q\Leftrightarrow b^2-a^2=2ab\Leftrightarrow b^2-2ab-a^2=0$ ,

από όπου προκύπτει (δεκτή) λύση $b=(1+\sqrt{2})a$ .

parmenides51 · #4

Επειδή ο ρόμβος και τα ζητούμενα περίκεντρα έχουν κέντρο συμμετρίας το κέντρο του ρόμβου, το σχηματιζόμενο τετράπλευρο των 4 περικέντρων θα έχει πάλι κέντρο συμμετρίας το κέντρο του αρχικού ρόμβου. Επειδή τα περίκεντρα ανήκουν στις μεσοκάθετες των πλευρών του εκάστοτε τριγώνου και κάθε τρίγωνο του οποίου ζητείται το περίκεντρο έχει μια διαγώνιο του αρχικού ρόμβου για μεσοκάθετο, το τετράπλευρο των περικέντρων θα έχει κάθετες διαγωνίους κι επειδή έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων του θα είναι ρόμβος.

Ρόμβος

Ρόμβος

Re: Ρόμβος

Re: Ρόμβος

Re: Ρόμβος

Μέλη σε σύνδεση