Μία με ένα αυγό.

#1

Ζητείτα να βρεθεί το εμβαδόν του αυγού συναρτήσει της ακτίνας

των δύο μεγάλων κύκλων:

: egg1.png (43.01 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές

Δεν θυμάμαι αν έχει συζητηθεί.

kwstas12345 · #2

Βάζω μια λύση,πέρασε και η ώρα, ελπίζω σωστή.Aρχικά ο ριζικός άξονας των δύο κύκλων είναι κάθετος στην διάκεντρο

. Άν πούμε πώς οι κύκλων τέμνονται στο κάτω μέρος στο σημείο

, φέρουμε τις

, $\displaystyle FB$ , όμως $\displaystyle FA=FB$ , άρα είναι ισοσκελές τρίγωνο, και η

όντας κάθετη στο

, είναι και διάμεσος άρα $\displaystyle AC=CB=R/2$ , αφού ο καθένας από τους δύο μεγάλους κύκλους διέρχεται από το κέντρο του άλλου,άρα η διάκεντρος ισούται με την κοινή τους ακτίνα, άρα το εμβαδόν του ημικυκλίου του κύκλου που έχει κέντρο το

είναι $\frac{\pi R^2}{8}$ . To τρίγωνο $\displaystyle \bigtriangleup ABE$ είναι ισοσκελές μιας και AE=EB

καθώς και $\displaystyle \angle AEB=90^{0}$ , αφού είναι εγεγραμένη σε ημικύκλιο, άρα $\displaystyle \angle EBC=\angle ABE=45^{0}$ .Φέρουμε από τα H,G

κάθετες πρός την

, που τις τέμνουν στα K,L

, άρα $\displaystyle HK=GL=\frac{R}{\sqrt{2}}$ και έτσι $\displaystyle HG=2\left(BK-BC \right)=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1 \right)R$ , άρα η ακτίνα του μικρού κύκλου είναι $\displaystyle R\frac{\left(\sqrt{2}-1 \right)}{\sqrt{2}}$ , άρα το εμβαδόν του τεταρτοκυκλίου $\displaystyle HGE$ είναι $\displaystyle \frac{\pi\left(3-2\sqrt{2} \right)R^2}{8}$ . Εύκολα βρίσκουμε πως το εμβαδόν των τόξων ABH,AGB

είναι $\displaystyle \frac{\pi R^2}{8}$ . Άρα συνολικά το εμβαδόν του πάνου μέρους εκτός από το τεταρτοκύκλιο του μικρού κύκλου είναι $\displaystyle \frac{\pi R^2}{4}-\left(\bigtriangleup AEB \right)=R^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{4} \right)$ . Συνολικά το εμβαδόν ισούται με $\displaystyle \frac{\left(\pi \left(3-2\sqrt{2} \right) -1\right)R^2}{4}$ . Ελπίζω να μην μου ξέφυγε τίποτα,μιας και είναι αργά.

Διόρθωσα κάτι που μου είχε ξεφύγει στις πράξεις, , σχετικά με το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle AEB$ , και το τελικό αποτέλεσμα. Το σωστό αποτέλεσμα είναι του Hsiodos, που δίνει κάτω, η ιδέα ωστόσο επίλυσης είναι η ίδια.

hsiodos · #3

Καλημέρα

Σαν να λέμε , πιάσε το αυγό και ... χώρισε το . Μια λύση φαίνεται στο σχήμα . Μπορούν να δοθούν και άλλες.

Γιώργος

: αυγό.png (35.54 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές

$\boxed{AB = R}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \boxed{FA = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \boxed{FE = \frac{{AB}}{2} = \frac{R}{2}} }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \boxed{FH = AH - FA = R - \frac{{R\sqrt 2 }}{2} = \frac{{R\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{2}}}$

$\boxed{E_1 = {E_{\kappa .\tau o\mu (FLH)}} = \frac{{\pi {R^2}{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{16}} = \frac{{\pi {R^2}\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}}{8}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \boxed{E_2 = {E_{\kappa .\tau o\mu (ABH)}} = \frac{{\pi {R^2}}}{8}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \boxed{E_3 = {E_{\eta \mu \iota \kappa (AKB)}} = \frac{{\pi {R^2}}}{8}}}$

$\boxed{E_4 = {E_{\tau \rho \iota \gamma (AFB)}} = \frac{{{R^2}}}{4}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \boxed{E = {E_1} + 2{E_2} + {E_3} - {E_4} = \frac{{{R^2}\left( {\pi \left( {3 - \sqrt 2 } \right) - 1} \right)}}{4}}}$

** Πέρασα τους τύπους στο κείμενο

** Παρασυρόμενος από το λάθος (αρχικά) αποτέλεσμα , δεν είχα προσέξει την λύση του Κώστα πιο πάνω. Η λύση που παρουσίασα στην ουσία είναι ίδια με του Κώστα.

** Το ζητούμενο εμβαδόν μπορεί να προκύψει (με πιο πολλές πράξεις όμως) και ως το άθροισμα των εμβαδών ενός τραπεζίου και τριών κυκλικών τμημάτων.

Μία με ένα αυγό.

Μία με ένα αυγό.

Re: Μία με ένα αυγό.

Re: Μία με ένα αυγό.

Μέλη σε σύνδεση