Kύλινδρος

erxmer · #1

Σε ορθό κυκλικό κύλινδρο λέιπει η πάνω βάση και η υπόλοιπη επιφάνεια είναι $\pi a^2$ . Nα υπολογίσετε τις διαστάσεις του , ώστε να έχει την μέγιστη χωρητικότητα.

#2

erxmer έγραψε:Σε ορθό κυκλικό κύλινδρο λέιπει η πάνω βάση και η υπόλοιπη επιφάνεια είναι $\pi a^2$ . Nα υπολογίσετε τις διαστάσεις του , ώστε να έχει την μέγιστη χωρητικότητα.

Έστω $\displaystyle{r}$ η ακτίνα της βάσης και $\displaystyle{h}$ το ύψος του κυλίνδρου.

Η επιφάνεια του κυλίνδρου έχει εμβαδόν ίσο με $\displaystyle{\pi r^2+2\pi rh,}$ άρα ισχύει

$\displaystyle{r^2+2rh=a^2.}$

Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την παράσταση $\displaystyle{V=\pi r^2h.}$ Αρκεί να δούμε πότε γίνεται μέγιστη η $\displaystyle{r^2h.}$

Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle{a^2=r^2+2rh=r^2+rh+rh\geq 3\sqrt[3]{r^4h^2}=3\sqrt[3]{(r^2h)^2}}$

άρα βρίσκουμε $\displaystyle{r^2h\leq \sqrt{\Big(\frac{a^2}{3}\Big)^3}=\Big(\frac{a}{\sqrt{3}}\Big)^3}$

και η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν είναι $\displaystyle{r^2=rh \Leftrightarrow h=r.}$

Τότε, είναι $\displaystyle{V_{\max}=\pi \Big(\frac{a}{\sqrt{3}}\Big)^3}$

Γιώργος Απόκης · #3

Αν

είναι η ακτίνα της βάσης και το ύψος του κυλίνδρου αντίστοιχα, έχουμε:

$\displaystyle{E=\pi r^2+2 \pi r h \Leftrightarrow \pi a^2=\pi r^2+2 \pi r h \Leftrightarrow h=\frac{a^2-r^2}{2r}}$ (1).

$\displaystyle{V=\pi r^2 h\overset{(1)}=\pi r^2 \frac{a^2-r^2}{2r}=\frac{\pi}{2}(a^2r-r^3)}$ .

H συνάρτηση $\displaystyle{V(r)=\frac{\pi}{2}(a^2r-r^3)}$ έχει $\displaystyle{V{'}(r)=\frac{\pi}{2}(a^2-3r^2)}$ και παρουσιάζει μέγιστο για $\displaystyle{r=\frac{|a|\sqrt{3}}{3}}$ και από την (1): $\displaystyle{h=\frac{|a|\sqrt{3}}{3}}$ .

Σημ: Mε πρόλαβε ο Θάνος, αλλά αφήνω τη λύση αφού είναι λίγο διαφορετική.

Kύλινδρος

Kύλινδρος

Re: Kύλινδρος

Re: Kύλινδρος

Μέλη σε σύνδεση