Κύλινδρος και κώνος

erxmer · #1

Kύλινδρος είναι εγγεγραμμένος σε κώνο. Αν έιναι γνωστές οι ακτίνες κυλίνδρου και κώνου καθώς και το ύψος του κώνου να βρεθεί η σχέση που συνδέει το ύψος του κυλίνδρου με τα παραπάνω μεγέθη. Ποιά η μέγιστη ακτίνα του κώνου ώστε ο όγκος του κυλίνδρου να έιναι ο ελάχιστος δυνατός;

#2

erxmer έγραψε:Kύλινδρος είναι εγγεγραμμένος σε κώνο. Αν έιναι γνωστές οι ακτίνες κυλίνδρου και κώνου καθώς και το ύψος του κώνου να βρεθεί η σχέση που συνδέει το ύψος του κυλίνδρου με τα παραπάνω μεγέθη. Ποιά η μέγιστη ακτίνα του κώνου ώστε ο όγκος του κυλίνδρου να έιναι ο ελάχιστος δυνατός;

Το πρόβλημα ανάγεται σε διδιάστατο: Από όμοια τρίγωνα έχουμε $\frac{H}{R}= \frac{h}{R-r}$ .

Ο όγκος του κυλίνδρου είναι $\pi r^2h=\frac{\pi H}{R} r^2(R-r)$ .

Δεν καταλαβαίνω το τελευταίο ερώτημα αφού για οποιονδήποτε κώνο, ο όγκος του κυλίνδρου μπορεί να γίνει οσοδήποτε μικρός θέλουμε (πάρε $r\to 0$ ή $r\to R$ ). Αυτό που μπορούμε να βρούμε είναι ο μέγιστος όγκος του κυλίνδρου:

Με παραγώγιση ως προς την μεταβλητή

βρίσκουμε ακρότατο όταν $r=\frac{2}{3}R$ .

Φιλικά,

Μιχάλης.

Κύλινδρος και κώνος

Κύλινδρος και κώνος

Re: Κύλινδρος και κώνος

Μέλη σε σύνδεση