Συναρτήσεις

#1

ένα μη κενό σύνολο και $f,g: M \to M$ δύο 1-1 συναρτήσεις, ώστε κάθε σημείο του

να είναι σταθερό σημείο ακριβώς μιας από τις

ή

. Να αποδειχθεί ότι $f \circ g=g \circ f$

ΖΩΗ · #2

s.kap έγραψε: ένα μη κενό σύνολο και $f,g: M \to M$ δύο 1-1 συναρτήσεις, ώστε κάθε σημείο του να είναι σταθερό σημείο ακριβώς μιας από τις ή . Να αποδειχθεί ότι $f \circ g=g \circ f$

Έστω $x\in M$ τ.ω. $f\left(x \right)=x$ και $g\left(x \right)\neq x$ .

$\bullet f\left(x \right)=x \Rightarrow g\left(f\left(x \right) \right)=g\left(x \right)$ . (1)

$\bullet g\left(x \right)\neq x \,\,\overset{g=1-1}{\Rightarrow } \,\, g\left(g\left(x \right) \right)\neq g\left(x \right)$ δηλαδή το $g\left(x \right)$ δεν είναι σταθερό σημείο της

.

Άρα το $g\left(x \right)$ είναι σταθερό της

. Δηλαδή, $f\left(g\left(x \right) \right)=g\left(x \right)$ . (2)

$\overset{(1),(2)}{\Rightarrow } \left( f \circ g\right)\left(x \right)=\left(g \circ f \right)\left(x \right)$ .

Ομοίως, αν

είναι ένα σημείο του

σταθερό της

τότε, επειδή η

είναι 1-1 αποδεικνύεται ότι $\left( f \circ g\right)\left(x \right)=\left(g \circ f \right)\left(x \right)$ .

Άρα είναι $\left( f \circ g\right)\left(x \right)=\left(g \circ f \right)\left(x \right) , \,\, \forall x \in M$ , οπότε $f \circ g=g \circ f$ .

Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Re: Συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση