Κωνικές τομές και Ευκλείδεια Γεωμετρία

[Μάκης Χατζόπουλος]

Πρόβλημα 1: Σε δισορθογώνιο τραπέζιο με και να δείξετε ότι:

1. Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο σημείο της.
2. Η είναι κάθετη στην, όπου σημείο της ώστε ,
3. Η γωνία είναι ορθή.
4. Το γινόμενο των αποστάσεων των και από την παράλληλη στις βάσεις, από το είναι σταθερό.

Πρόβλημα 2: Έστω μια σφαίρα στο εσωτερικό ενός κώνου, και και είναι οι τομές των δυο εφαπτόμενων επιπέδων αυτής, των κάθετων στον άξονα του κώνου. Αν ένα επίπεδο, διερχόμενο από τον άξονα του κώνου, τέμνει το σχήμα, τότε η διχοτόμος κάθε γωνίας του τετράπλευρου, που σχηματίζεται, διέρχεται από σταθερό σημείο. Το γινόμενο των αποστάσεων των βάσεων από το επίπεδο επαφής σφαίρας - κώνου είναι σταθερό.

Παρατηρήσεις
1. Θα δώσω και σχήματα αν υπάρχει πρόβλημα
2. Τα προβλήματα έχουν κάποια σχέση μεταξύ τους
3. Στο τέλος θα δώσω την πηγή των προβλημάτων
4. Μετά από π/μ του KARKAR και του Γιώργου Απόκη, σημειώνω, ότι λογικά ο συγγραφέας της άσκησης στο πρόβλημα 1, υποερώτημα 4, θεωρεί μεταβλητά σημεία τα (θα το ξαναδώ και θα επανέλθω...)

[Γιώργος Απόκης]

Για το πρόβλημα 1 (μου είπε ο Μάκης ότι συζητείται το 4ο ερώτημα...)

1. Έστω η διχοτόμος της . Θα δείξω ότι η είναι διχοτόμος της . Aν οι τέμνονται στο , έχουμε:

(εντός εναλλάξ), άρα και , δηλαδή το είναι ισοσκελές. Έτσι, .

Tελικά, το είναι παραλληλόγραμμο με κέντρο το , άρα στο ισοσκελές η είναι διχοτόμος (ως διάμεσος).

2. Τα τρίγωνα είναι ίσα (Π-Γ-Π) άρα δηλαδή .

3. Αν η διάμεσος του τραπεζίου, έχουμε και από το τρίγωνο προκύπτει

[Μάκης Χατζόπουλος]

Γιώργο για το (4) στο σχήμα σου απέδειξε: (μάλλον τα θεωρεί μεταβλητά σημεία)

(μετά θα δώσω και τον σύνδεσμο για να σχολιάσουμε την διατύπωση)

[Γιώργος Απόκης]

Πιθανώς μια πιο πλήρης εκφώνηση θα ήταν:

Δίνονται τα σταθερά σημεία και οι ημιευθείες (προς το ίδιο ημιεπίπεδο με ακμή ), τέτοιες ώστε .

Αν μεταβλητά σημεία των αντίστοιχα με δείξτε ότι για το τραπέζιο κλπ...

[Μάκης Χατζόπουλος]

Δίνω τον σύνδεσμο να λυθούν οποιεσδήποτε απορίες δημιουργήθηκαν με την διατύπωση των προβλημάτων (η κακή απόδοσή μου φταίει)

Δείτε εδώ , είναι των συναδέλφων Σπύρο Παναγιωτόπουλο και Μιχαήλ Τζούμα.

Υπάρχουν οι λύσεις από τα παραπάνω προβλήματα όπως και άλλες διαπραγματεύσεις από τις Κωνικές τομές και Ευκλείδεια Γεωμετρία.