Βρείτε την αύξουσα!

#1

Να βρεθεί ο τύπος της αύξουσας, συνεχούς συνάρτησης $\displaystyle{f:[0,1]\to \mathbb{R}, }$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle{\int_{0}^{1}f(\sin x)dx+\int_{0}^{1}f(\ln (x+1))dx=1+\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx.}$

#2

Θεωρώ ως γνωστές τις ανισότητες:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} \ln (x + 1) \le x,x \ge 0 \\ \sin x \le x,x \ge 0 \\ \end{array} }$
Τώρα αν εκμεταλευτώ τη μονοτονία της συνάρτησης προκύπτει:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} f(\ln (x + 1)) \le f(x) \\ f(\sin x) \le f(x) \\ \end{array} }$
Ολοκληρώνοντας στο $\displaystyle{ \left[ {0,1} \right] }$ έχω,με πρόσθεση κατά μέλη:
$\displaystyle{ \int\limits_0^1 {f(\sin x)dx} + \int\limits_0^1 {f(\ln (x + 1))dx} \le 2\int\limits_0^1 {f(x)dx} \Rightarrow 1 + \int\limits_0^1 {f^2 (x)dx} - 2\int\limits_0^1 {f(x)dx} \le 0 \Rightarrow \int\limits_0^1 {(f(x) - 1)^2 dx} \le 0 }$
Όμως:
$\displaystyle{ \int\limits_0^1 {(f(x) - 1)^2 dx} \ge 0 }$ δηλαδή $\displaystyle{ \int\limits_0^1 {(f(x) - 1)^2 dx} = 0 }$
Τότε οδηγούμαστε στο $\displaystyle{ f(x) = 1,\forall x \in \left[ {0,1} \right] }$
δεδομένου ότι αν για κάποιο $\displaystyle{ x_0 \in \left[ {0,1} \right] }$ έχω $\displaystyle{ f(x_0 ) \ne 1 }$ θα προέκυπτε:
$\displaystyle{ \int\limits_0^1 {(f(x)-1)^2dx} > 0 }$
Η συνάρτηση επαληθεύει φανερά τη δοθείσα.

Σ.ΣΙσχύει $\displaystyle{ \ln x \le x - 1,x > 0 }$ οπότε θέτοντας $\displaystyle{ x \to x + 1 }$ έχω $\displaystyle{ \ln (x + 1) \le x,x > - 1 }$

Βρείτε την αύξουσα!

Βρείτε την αύξουσα!

Re: Βρείτε την αύξουσα!

Μέλη σε σύνδεση