Όχι Putnam, αλλά ΑΣΕΠ!

#1

Αν $\displaystyle{a(x),b(x),c(x),d(x)}$ είναι πολυώνυμα, αποδείξτε ότι υπάρχει πολυώνυμο $\displaystyle{P(x),}$ τέτοιο ώστε να ισχύει

$\displaystyle{\int_{1}^{x}a(t)c(t)dt\int_{1}^{x}b(t)d(t)dt-\int_{1}^{x}a(t)d(t)dt\int_{1}^{x}b(t)c(t)dx=(x-1)^4P(x),}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

#2

Προφανώς το 1ο μέλος είναι πολυώνυμο , έστω $\displaystyle{p(x):p(1)=0}$
Βρίσκω μεχρι και την $\displaystyle{p^{(3)}(x)}$ (με το mathematica) να .έχουν παράγοντες σε όλους τους ,τους όρους της μορφής $\displaystyle{\int_{1}^{x}{...dt}}$
Άρα $\displaystyle{p(1)=p'(1)=p''(1)=p'''(1)=0}$ οπότε από πολύ γνωστή πρόταση έπεται το ζητούμενο

#3

Το αριστερό μέλος είναι γραμμικό ως προς τα a(x),b(x),c(x),d(x)

. Επομένως αρκεί να αποδείξουμε το ζητούμενο για τις περιπτώσεις όπου τα a(x),b(x),c(x),d(x)

είναι μονικά μονώνυμα. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι για κάθε $k,\ell,m,n \in \mathbb{N}$ ισχύει ότι το (x-1)^4

διαιρεί το

$\displaystyle{ \frac{(x^{k+m+1} - 1)(x^{\ell+n+1}-1)}{(k+m + 1)(\ell+n+1)} - \frac{(x^{k+n+1} - 1)(x^{m+\ell+1}-1)}{(k+n + 1)(m+\ell+1)} }$ .

Για αυτό αρκεί να δείξουμε ότι το (x-1)^2

διαιρεί το

$\displaystyle{ f(x) = \left( \frac{1+x+x^2 + \cdots + x^{k+m}}{k+m+1} \right)\left( \frac{1+x+x^2 + \cdots + x^{\ell+n}}{\ell+n+1} \right) - \left( \frac{1+x+x^2 + \cdots + x^{k+n}}{k+n+1} \right)\left( \frac{1+x+x^2 + \cdots + x^{m+\ell}}{m+\ell+1} \right). }$

Έχουμε $\displaystyle{ f(x) = g_{k+m}(x)g_{\ell+n}(x)- g_{k+n}(x)g_{m+\ell}(x)}$ όπου $g_r(x) = (1+x+\cdots + x^r)/(r+1)$ . Επειδή g_r(1) = 1

για κάθε

, έχουμε

. Επειδή επίσης $g_r{'}(1) = (r-1)/2$ έχουμε $f{'}(1) = (k+m-1)/2 + (\ell + n - 1)/2 - (k+n-1)/2 - (m + \ell-1)/2 = 0$ . Επομένες πράγματι (x-1)^2|f(x)

και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

Όχι Putnam, αλλά ΑΣΕΠ!

Όχι Putnam, αλλά ΑΣΕΠ!

Re: Όχι Putnam, αλλά ΑΣΕΠ!

Re: Όχι Putnam, αλλά ΑΣΕΠ!

Μέλη σε σύνδεση