Εύρεση γεωμετρικού τόπου

[Ανδρέας Πούλος]

Σε μία ευθεία είναι γνωστές οι θέσεις των σημείων , και για τα οποία ισχύουν τα εξής:
Από τα σημεία και διέρχεται ένας κύκλος και το σημείο ανήκει στην εφαπτομένη του .
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων επαφής των εφαπτομένων του που διέρχονται από το .

(Παρακαλείται ο εκλεκτός συνάδελφος κύριος Κώστας Δόρτσιος να ασχοληθεί με το πρόβλημα με δύο προϋποθέσεις,
α) να μην παίζει την ίδιο στιγμή με το εγγονάκι του και β) να μην κάνει χρήση του Geogebra, Sketchpad κλπ., το θέμα είναι σοβαρό).

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[KDORTSI]

Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία και (ο γαλάζιος στο σχήμα) έχει κέντρο πάνω στη μεσοκάθετη του .
Έστω τυχαίο σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου.
Τότε θα είναι:
διότι τα σημεία είναι σταθερά.
Άρα το σημείο θα κινείται πάνω στον κύκλο (ο πράσινος στο σχήμα).
(Το αντίστροφο είναι εύκολο)

Παρατήρηση:
Όταν το κέντρο κατευθεύνεται πάνω(ή κάτω) στο "επ' άπειρο σημείο" της μεσοκαθέτου , τότε το σημείο οδεύει στο σημείο .

Ανδρέα γειά σου.
Από τα δύο προαπαιτούμενα που έθεσες τήρησα μόνο το ένα.(Βλέπεις το εγγονάκι μου τούτες τις μέρες είναι στη Σαλονίκη)
Πάντως χαίρομαι που ξαναμιλάμε στο χώρο αυτό. Να είσαι καλά.

Κώστας Δόρτσιος