κέντρο συμμετρίας.

irakleios · #1

Να βρεθεί το κέντρο συμμετρίας της συνάρτησης $\displaystyle{f(x) = \frac{2x - 1}{4x + 2}}$ .

#2

...για το κέντρο συμμετρίας....

Είναι η $y=\frac{2x-1}{4x+2}=\frac{1}{2}\frac{2x-1}{2x+1}=\frac{1}{2}\frac{2x+1-2}{2x+1}=\frac{1}{2}(\frac{2x+1}{2x+1}-\frac{2}{2x+1})$ οπότε

$y=\frac{1}{2}(1-\frac{2}{2x+1})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x+1}\Leftrightarrow y-\frac{1}{2}=\frac{-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}}$ και με $Y=y-\frac{1}{2}$ και $X=x+\frac{1}{2}$

έχουμε την $Y=\frac{-\frac{1}{2}}{X}$ που έχει κέντρο συμμετρίας το {O}'(0,0)

με $X=x+\frac{1}{2}=0$ έχουμε $x=-\frac{1}{2}$ και $Y=y-\frac{1}{2}=0$ έχουμε $y=\frac{1}{2}$ άρα το κέντρο συμμετρίας

της αρχικής είναι το ${O}'(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2})$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

pito · #3

Με μια άλλη προσέγγιση:

Η $C_{f}$ έχει κέντρο συμμετρίας το $K(\alpha ,\beta )\Leftrightarrow f(a-x)+f(a+x)=2\beta \Leftrightarrow f(x)+f(2\alpha -x)=2\beta$
έτσι πρέπει $\frac{2x-1}{4x+2}+\frac{4\alpha -2x-1}{8\alpha -4x+2}=2\beta \Rightarrow ...\Rightarrow -16x^{2}+32\alpha x-4=-32\beta x^{2}+64\alpha \beta x+(32\alpha \beta +8\beta )$

άρα απο τα εκ ταυτότητος ίσα πολυώνυμα πρέπει $-16=-32\beta \Rightarrow \beta =\frac{1}{2}, 32\alpha =64\alpha \beta \Leftrightarrow 32\alpha =32\alpha$ ( που ισχύει) και $-4=32\alpha \beta +8\beta \Rightarrow \alpha =-\frac{1}{2}$ .

Έτσι το κέντρο συμμετρίας της $C_{f}$ είναι το $K(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ .

#4

Γεωμετρικά: το κέντρο συμμετρίας οφείλει να είναι το σημείο τομής της κάθετης ασύμπτωτης με την οριζόντια ασύμπτωτη!

...Ας προτείνω κάτι πιο δύσκολο (εντός ορίων ΑΣΕΠ, ελπίζω): να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή απόσταση των δύο κλάδων μέσω του κέντρου συμμετρίας, να βρεθεί δηλαδή το ελάχιστο δυνατό μήκος ευθύγραμμου τμήματος με άκρα πάνω στην καμπύλη και μέσο το κέντρο συμμετρίας.

[Θα μπορούσε βέβαια να παρατηρήσει κάποιος ότι το ευθύγραμμο τμήμα που αντιστοιχεί στην ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στους δύο κλάδους οφείλει να έχει ως μέσο του το κέντρο συμμετρίας...]

Γιώργος Μπαλόγλου

#5

gbaloglou έγραψε:...Ας προτείνω κάτι πιο δύσκολο (εντός ορίων ΑΣΕΠ, ελπίζω): να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή απόσταση των δύο κλάδων μέσω του κέντρου συμμετρίας, να βρεθεί δηλαδή το ελάχιστο δυνατό μήκος ευθύγραμμου τμήματος με άκρα πάνω στην καμπύλη και μέσο το κέντρο συμμετρίας.

[Θα μπορούσε βέβαια να παρατηρήσει κάποιος ότι το ευθύγραμμο τμήμα που αντιστοιχεί στην ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στους δύο κλάδους οφείλει να έχει ως μέσο του το κέντρο συμμετρίας...]

Θυμήθηκα το θέμα αυτό με αφορμή ... την ημερομηνία: είχα καταλήξει στο συμπέρασμα ότι η καλύτερη αντιμετώπιση βασίζεται σε μελέτη της a/x

και αναγωγή του όλου θέματος σ' αυτήν την ειδική περίπτωση με αλλαγή μεταβλητών -- ακολουθώντας δηλαδή την μέθοδο του εορτάζοντος Βασίλη Κακαβά

Γιώργος Μπαλόγλου

κέντρο συμμετρίας.

κέντρο συμμετρίας.

Re: κέντρο συμμετρίας.

Re: κέντρο συμμετρίας.

Re: κέντρο συμμετρίας.

Re: κέντρο συμμετρίας.

Μέλη σε σύνδεση