Συντονιστής: chris_gatos
δίνεται από τους τύπους 
για 
, 
και 
, όπου 
. δεν είναι συνεχής στο 
. είναι συνεχής στο αλλά όχι παραγωγίσιμη στο . είναι παραγωγίσιμη στο αλλά η 
δεν είναι συνεχής στο . είναι συνεχής στο . δίνεται από τους τύπους για , και , όπου . είναι συνεχής στο .
τότε η συνάρτηση είναι η σταθερή 
που προφανώς είναι συνεχής η στο 
στο σημείο ![\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{{{x^{b - 1}} + ... + 1}}{{{x^{a - 1}} + ... + 1}} - \frac{b}{a}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a\left( {{x^{b - 1}} + ... + 1} \right) - b\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right)}}{{a\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right)}} \\
\\
\mathop = \limits_{D - L}^{0/0} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a\left[ {\left( {b - 1} \right){x^{b - 2}} + \left( {b - 2} \right){x^{b - 3}} + ... + 1} \right] - b\left[ {\left( {a - 1} \right){x^{a - 2}} + \left( {a - 2} \right){x^{a - 3}} + ... + 1} \right]}}{{a\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right) + a\left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {a - 1} \right){x^{a - 2}} + ... + 1} \right]}} \\
\\
= \frac{{a\left( {b - 1 + b - 2 + ... + 1} \right) - b\left( {a - 1 + a - 2 + ... + 1} \right)}}{{a\left( {1 + ... + 1} \right)}} \\
\\
= \frac{{a\frac{{b\left( {b - 1} \right)}}{2} - b\frac{{a\left( {a - 1} \right)}}{2}}}{{{a^2}}} \\
\\
= \frac{{{b^2} - ab}}{{2a}} \in R \\
\end{array}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/fea56a7d62b8d5a86764958a2f0c1291.png "\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{{{x^{b - 1}} + ... + 1}}{{{x^{a - 1}} + ... + 1}} - \frac{b}{a}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a\left( {{x^{b - 1}} + ... + 1} \right) - b\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right)}}{{a\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right)}} \\
\\
\mathop = \limits_{D - L}^{0/0} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a\left[ {\left( {b - 1} \right){x^{b - 2}} + \left( {b - 2} \right){x^{b - 3}} + ... + 1} \right] - b\left[ {\left( {a - 1} \right){x^{a - 2}} + \left( {a - 2} \right){x^{a - 3}} + ... + 1} \right]}}{{a\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right) + a\left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {a - 1} \right){x^{a - 2}} + ... + 1} \right]}} \\
\\
= \frac{{a\left( {b - 1 + b - 2 + ... + 1} \right) - b\left( {a - 1 + a - 2 + ... + 1} \right)}}{{a\left( {1 + ... + 1} \right)}} \\
\\
= \frac{{a\frac{{b\left( {b - 1} \right)}}{2} - b\frac{{a\left( {a - 1} \right)}}{2}}}{{{a^2}}} \\
\\
= \frac{{{b^2} - ab}}{{2a}} \in R \\
\end{array}")
ως προς την συνέχεια στο σημείο 
βρίσκουμε,![f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{b - 1}} + ... + 1}}{{{x^{a - 1}} + ... + 1}}} \right)^\prime } = \frac{{\left[ {\left( {b - 1} \right){x^{b - 2}} + \left( {b - 2} \right){x^{b - 3}} + ... + 1} \right]\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right) - \left[ {\left( {a - 1} \right){x^{a - 2}} + \left( {a - 2} \right){x^{a - 3}} + ... + 1} \right]\left( {{x^{b - 1}} + ... + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right)}^2}}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/167e7fa8de75bd687960be7eaf7d7e1a.png "f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{b - 1}} + ... + 1}}{{{x^{a - 1}} + ... + 1}}} \right)^\prime } = \frac{{\left[ {\left( {b - 1} \right){x^{b - 2}} + \left( {b - 2} \right){x^{b - 3}} + ... + 1} \right]\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right) - \left[ {\left( {a - 1} \right){x^{a - 2}} + \left( {a - 2} \right){x^{a - 3}} + ... + 1} \right]\left( {{x^{b - 1}} + ... + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right)}^2}}}")
,![f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\left[ {\left( {b - 1} \right){x^{b - 2}} + \left( {b - 2} \right){x^{b - 3}} + ... + 1} \right]\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right) - \left[ {\left( {a - 1} \right){x^{a - 2}} + \left( {a - 2} \right){x^{a - 3}} + ... + 1} \right]\left( {{x^{b - 1}} + ... + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right)}^2}}}} & {,0 < x \ne 1} \\
{\frac{{{b^2} - ab}}{{2a}}} & {,x = 1} \\
\end{array}} \right.](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/aad043980994d77cad7f989ee0dea4d0.png "f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\left[ {\left( {b - 1} \right){x^{b - 2}} + \left( {b - 2} \right){x^{b - 3}} + ... + 1} \right]\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right) - \left[ {\left( {a - 1} \right){x^{a - 2}} + \left( {a - 2} \right){x^{a - 3}} + ... + 1} \right]\left( {{x^{b - 1}} + ... + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right)}^2}}}} & {,0 < x \ne 1} \\
{\frac{{{b^2} - ab}}{{2a}}} & {,x = 1} \\
\end{array}} \right.")
![\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {\left( {b - 1} \right){x^{b - 2}} + \left( {b - 2} \right){x^{b - 3}} + ... + 1} \right]\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right) - \left[ {\left( {a - 1} \right){x^{a - 2}} + \left( {a - 2} \right){x^{a - 3}} + ... + 1} \right]\left( {{x^{b - 1}} + ... + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right)}^2}}} \\
\\
= \frac{{\frac{{b\left( {b - 1} \right)}}{2} \cdot a - \frac{{a\left( {a - 1} \right)}}{2} \cdot b}}{{{a^2}}} \\
\\
= \frac{{{b^2} - 2a}}{{2a}} = f'\left( 1 \right) \\
\end{array}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ad3aa5cb9cbb5b73d1e070bd2f5f6b01.png "\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {\left( {b - 1} \right){x^{b - 2}} + \left( {b - 2} \right){x^{b - 3}} + ... + 1} \right]\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right) - \left[ {\left( {a - 1} \right){x^{a - 2}} + \left( {a - 2} \right){x^{a - 3}} + ... + 1} \right]\left( {{x^{b - 1}} + ... + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^{a - 1}} + ... + 1} \right)}^2}}} \\
\\
= \frac{{\frac{{b\left( {b - 1} \right)}}{2} \cdot a - \frac{{a\left( {a - 1} \right)}}{2} \cdot b}}{{{a^2}}} \\
\\
= \frac{{{b^2} - 2a}}{{2a}} = f'\left( 1 \right) \\
\end{array}")
και 
) και είναι φυσικοί αριθμοί (για τους οποίους και ισχύει η ταυτότητα που χρησιμοποίησες)*
τείνει στο ): στο , 
, 
, 
και ως φυσικοί αριθμοί, ακόμη και συγκεκριμένοι μικρού μεγέθους, για να γίνει πιο βατό το πρόβλημα (ανταμείβοντας πάντως και σε μια τέτοια περίπτωση όσους χρησιμοποιήσουν l' Hospital) Εντάξει, αλλά ... γιατί να νιώθεις ότι 'κλέβεις' χρησιμοποιώντας D-L;!Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Γιώργο έχω χρησιμοποιήσει D-L δες σε κάποια βήματα. Δεν σου κρύβω ότι προσπαθούσα να το αποφύγω, αφού νιώθω ότι "κλέβω"!
Όσο αφορά την λύση σου, έτσι ακριβώς την είχα γραμμένη, δηλαδή δουλεύοντας με την αρχική συνάρτηση, απλά δίνοντας κάθε φορά τον τύπο της f, θεωρούσα ότι την έκανα πιο επίσημη και ολοκληρωμένη!
Όσο αφορά την απλοποίηση, έχεις δίκιο, όταν το έκανα το είχα κατά νου, απλά το αμέλησα μετά με την λύση που έγραψα!
, δεν είναι απαγορευτικά πολύπλοκες (για ΑΣΕΠ ή ότι άλλο). Γενικότερα το πρόβλημα αυτό φαίνεται να δημιούργησε -- κρίνοντας και από κάποια προσωπικά μηνύματα που έλαβα -- μία μη αναμενόμενη εκ μέρους μου σύγχυση: το θεωρούσα και το θεωρώ πρόβλημα ρουτίνας που ίσως απαιτεί λίγη περισσότερη 'μαθηματική ψυχραιμία'*. Θα ήθελα κλείνοντας να επισημάνω ότι πηγή έμπνευσης του είναι το σύστημα που μας είχε στείλει ο Σπύρος Καπελλίδης.]
, παρατηρώ ότι 
για κάθε 
. Επομένως τα (α),(β) και (γ) αποκλείονται. Για να είναι σωστή η άσκηση πρέπει το (δ) να είναι σωστό. Πολύ σωστός Δημήτρη, είναι ένα από τα παράθυρα που συχνά μας αφήνουν οι ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής: θα μπορούσα να το κλείσω εκ των υστέρων, προσθέτοντας την συνθήκηDemetres έγραψε:Παίρνω
στο αρχικό πρόβλημα, το αφήνω όμως έτσι για διδακτικούς σκοπούς -- διδακτικούς και για τους λύτες και για τους δημιουργούς προβλημάτων!
και 
, οπότε 
... και τέλος! Ανάπτυξης λοιπόν και όχι πολλαπλής επιλογής 
]Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης
