Στερεομετρία (2)

#1

Θεωρούμε ορθό κόλουρο κώνο περιγεγραμμένο σε σφαίρα (O,R)

. Αν

Ο όγκος του και

η επιφανειά του, να δείξετε ότι:

$\displaystyle{ \frac{V}{E} = \frac{R}{3} }$

#2

επαναφορά

#3

chris_gatos έγραψε:Θεωρούμε ορθό κόλουρο κώνο περιγεγραμμένο σε σφαίρα . Αν Ο όγκος του και
η επιφανειά του, να δείξετε ότι:

$\displaystyle{ \frac{V}{E} = \frac{R}{3} }$

Χρήστο αφού την επαναφέρεις και δεν βλέπω κάποιον πρόθυμο ας την γράψω εγώ...

: 1.png (23.61 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές

Είναι γνωστό ότι ο όγκος του κόλουρου κώνου δίνεται από τον τύπο $\displaystyle{ \boxed{V = \frac{{\pi \upsilon }} {3}\left( {\rho ^2 + \rho '^2 + \rho \rho '} \right)}:\left( 1 \right) }$

και το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας από τον τύπο: $\displaystyle{ \boxed{E = \pi \lambda \left( {\rho + \rho '} \right) + \pi \left( {\rho ^2 + \rho '^2 } \right)}:\left( 1 \right) }$

Για το δικό μας σχήμα είναι προφανώς $\displaystyle{ \upsilon = 2R,\rho + \rho ' = \lambda }$ και επειδή το τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle AOD }$

είναι ορθογώνιο στο $\displaystyle{ O }$ (οι $\displaystyle{ AO,DO }$ είναι διχοτόμοι δύο εντός και επί τα αυτά (δηλαδή παραπληρωματικών) γωνιών

θα ισχύει για το ύψος $\displaystyle{ OE }$ προς την υποτείνουσα : $\displaystyle{ EA \cdot ED = OE^2 \Rightarrow \rho \cdot \rho ' = R^2 }$

και έτσι οι τύποι διαμορφώνονται ως εξής: $\displaystyle{ V = \frac{{\pi \upsilon }} {3}\left( {\rho ^2 + \rho '^2 + \rho \rho '} \right) = \frac{{\pi 2R}} {3}\left[ {\left( {\rho + \rho '} \right)^2 - \rho \cdot \rho '} \right] \Rightarrow \boxed{V = \frac{{2\pi R}} {3}\left( {\lambda ^2 - R^2 } \right)}:\left( 3 \right) }$

και $\displaystyle{ E = \pi \lambda \left( {\rho + \rho '} \right) + \pi \left( {\rho ^2 + \rho '^2 } \right) = \pi \lambda \cdot \lambda + \pi \left[ {\left( {\rho + \rho '} \right)^2 - 2\rho \rho '} \right] = \pi \lambda ^2 + \pi \left( {\lambda ^2 - 2R^2 } \right) = 2\pi \lambda ^2 - 2\pi R^2 \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \boxed{E = 2\pi \left( {\lambda ^2 - R^2 } \right)}:\left( 4 \right) }$ . Τέλος διαιρώντας τις σχέσεις $\displaystyle{ \left( 3 \right),\left( 4 \right) }$ παίρνουμε :

$\displaystyle{ \frac{V} {E} = \frac{{\frac{{2\pi R}} {3}\left( {\lambda ^2 - R^2 } \right)}} {{2\pi \left( {\lambda ^2 - R^2 } \right)}} \Rightarrow \boxed{\frac{V} {E} = \frac{R} {3}} }$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

#4

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Χρήστο αφού την επαναφέρεις και δεν βλέπω κάποιον πρόθυμο ας την γράψω εγώ...

Ευχαριστώ Στάθη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Στερεομετρία (2)

Στερεομετρία (2)

Re: Στερεομετρία (2)

Re: Στερεομετρία (2)

Re: Στερεομετρία (2)

Μέλη σε σύνδεση