Βρείτε το k

#1

Έστω:
$\displaystyle{ x_n + iy_n = (1 + i\sqrt 3 )^n }$ όπου $\displaystyle{ x_n ,y_n \in \mathbb {R} }$ και

θετικός φυσικός.
Αν ισχύει:
$\displaystyle{ x_{19} y_{91} + x_{91} y_{19} = 2^k \sqrt 3 }$ τότε να βρείτε το

pito · #2

Απαντώ με μεγάλη επιφύλαξη:

Είναι $x_{n}+iy_{n}=(1+i\sqrt{3})^{n}=[2(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})]^{n}=[2(cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3})]^{n}$
$=2^{n}(cos\frac{n\pi }{3}+isin\frac{n\pi }{3}) (1)$ ( η τελευταία από τον τύπο de Moivre)

Ακόμη $(x_{19}+iy_{19})(x_{91}+iy_{91})=(x_{19}x_{91}-y_{19}y_{91})+(x_{19}y_{91}+x_{91}y_{19})i (2)$

Αλλά και λόγω της (2) είναι
$(x_{19}+iy_{19})(x_{91}+iy_{91})=2^{19}(cos\frac{19\pi }{3}+isin\frac{19\pi }{3})2^{91}(cos\frac{91\pi }{3}+isin\frac{91\pi }{3})$
$=2^{110}(cos(6\pi +\frac{\pi }{3})+isin(6\pi +\frac{\pi }{3}))(cos(30\pi +\frac{\pi }{3})+isin(30\pi +\frac{\pi }{3}))$
$=2^{110}(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{2}=-2^{109}+2^{109}\sqrt{3}i$ (3)

Από τις (2) και (3) και το ζητούμενο θα πρέπει $2^{109}\sqrt{3}=2^{k}\sqrt{3}\Rightarrow k=109$

#3

Θέτουμε $a=1+i\sqrt{3}$ και το

(όπως και το $\overline{a}$ ) είναι ρίζα της εξίσωσης x^3=-8

.

Επίσης αφού x_n+iy_n=a^n

άρα παίρνοντας συζυγείς έχουμε $x_n-iy_n=\overline{a}^n$ οπότε $x_n=\dfrac{a^n+\overline{a}^n}{2}$ και $y_n=\dfrac{a^n-\overline{a}^n}{2i}$

Άρα $\begin{aligned} x_{19}y_{91}+x_{91}y_{19} &=\dfrac{a^{19}+\overline{a}^{19}}{2}\cdot \dfrac{a^{91}-\overline{a}^{91}}{2i}+\dfrac{a^{91}+\overline{a}^{91}}{2}\cdot \dfrac{a^{19}-\overline{a}^{19}}{2i} \nonumber \\ &= \dfrac{a^{110}-\overline{a}^{110}}{2i}=\dfrac{\left(a^3\right)^{36}a^2-\left(\overline{a}^3\right)^{36}\overline{a}^2}{2i} \nonumber \\ &= 8^{36}\dfrac{(1+i\sqrt{3})^2-(1-i\sqrt{3})^2}{2i}=2^{109}\sqrt{3} \nonumber \end{aligned}$

Άρα k=109

.

Αλέξανδρος

Βρείτε το k

Βρείτε το k

Re: Βρείτε το k

Re: Βρείτε το k

Μέλη σε σύνδεση