Μία περίεργη ακολουθία...γωνιών!

#1

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου $\displaystyle{ P_0 P_1 = 2 }$ .
Αν η γωνία $\displaystyle{ P_0 \widehat{P_1 }P_2 = 1^0 }$ , η γωνία $\displaystyle{ P_1 \widehat{P_2 }P_3 = 2^0 }$ η γωνία $\displaystyle{ P_2 \widehat{P_3 }P_4 = 3^0 }$ ....η γωνία $\displaystyle{ P_{k - 1} \widehat{P_k }P_{k + 1} = k^0 }$
και το μήκος της χορδής $\displaystyle{ (P_k P_{k + 1} ) }$ είναι το πρώτο στην προηγούμενη ακολουθία χορδών που είναι μικρότερο από το

τότε να υπολογίσετε το

.

#2

Παρατηρούμε ότι

$(P_{0}P_{1})=180^{0}, (P_{1}P_{2})=(P_{0}P_{1})-\frac{\widehat{P_{0}P_{1}P_{2}}}{2}=180^{0}-0,5^{0}, (P_{2}P_{3})=(P_{1}P_{2})-\frac{\widehat{P_{1}P_{2}P_{3}}}{2}=180^{0}-0,5^{0}-1^{0}, (P_{3}P_{4})=180^{0}-0,5^{0}-1^{0}-1,5^{0},$

και γενικά $(P_{k}P_{k+1})=180^{0}-\frac{1^{0}+...+k^{0}}{2}=180^{0}-\frac{k(k+1)}{4}^{0},$

οπότε αναζητούμε το πρώτο

για το οποίο $\frac{k(k+1)}{4}>120$ (το πρώτο δηλαδή

για το οποίο το μήκος του τόξου $(P_{k}P_{k+1})$ είναι μικρότερο της ακτίνας του κύκλου, και το ίδιο το τόξο μικρότερο των $60^{0}$ ): προκύπτει ότι k=22.

Γιώργος Μπαλόγλου

Μία περίεργη ακολουθία...γωνιών!

Μία περίεργη ακολουθία...γωνιών!

Re: Μία περίεργη ακολουθία...γωνιών!

Μέλη σε σύνδεση