Βρείτε με τι ισούται η παράσταση(2)

#1

Με τι ισούται η παράσταση:
$\displaystyle{ a^2 \frac{{\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + b^2 \frac{{\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + c^2 \frac{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} }$

#2

Ίδια λογική με αυτήν εδώ. Έστω f(x)

η συγκεκριμένη παράσταση. Τότε το

είναι πολυώνυμο βαθμού το πολύ 2 και άρα το ίδιο ισχύει και για το g(x) = f(x) - x^2

. Όμως

και επειδή τα a,b,c

είναι διαφορετικά μεταξύ τους το

είναι ταυτοτικά

. Άρα

για κάθε

.

#3

Αν θέσουμε ως f(x)

τη συγκεκριμένη συνάρτηση παρατηρούμε ότι f(a)=a^2, f(b)=b^2, f(c)=c^2

δηλαδή αν ήταν f(x)=kx^2+lx+m

τότε η πολυωνυμική εξίσωση (k-1)x^2+lx+m=0

έχει τρεις ρίζες (τις a,b,c

) που δε γίνεται εκτός αν το πολυώνυμο g(x)=(k-1)x^2+lx+m

είναι το μηδενικό. Άρα k=1

,

οπότε

.

Αλέξανδρος

#4

chris_gatos έγραψε:Με τι ισούται η παράσταση:
$\displaystyle{ a^2 \frac{{\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + b^2 \frac{{\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + c^2 \frac{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} }$

Ας προστεθεί (ουσιαστικά το λέει ο Δημήτρης αλλά με άλλα λόγια), η δοθείσα παράσταση είναι προφανώς το πολυώνυμο Lagrange των τιμών $f(a)=a^2, \, f(b)=b^2, \, f(c)=c^2$ . Άρα είναι f(x)=x^2

από την μοναδικότητα.

Μ.

Βρείτε με τι ισούται η παράσταση(2)

Βρείτε με τι ισούται η παράσταση(2)

Re: Βρείτε με τι ισούται η παράσταση(2)

Re: Βρείτε με τι ισούται η παράσταση(2)

Re: Βρείτε με τι ισούται η παράσταση(2)

Μέλη σε σύνδεση