Tετράεδρο και σφαίρα

pito · #1

Να δειχθεί ότι κάθε τετράεδρο είναι εγγεγραμμένο σε σφαίρα.

( Αν έχει ξανασυζητηθεί θα μας ενημερώσει ο parm)

parmenides51 · #2

για στερεομετρία δεν σας ενημερώνω

, είναι που είναι λίγες οι σχετικές ασκήσεις, ας μην χαλάμε την μαγεία τους

#3

: Περιγεγραμμένη σφαίρα σε τετράεδρο.PNG (51.74 KiB) Προβλήθηκε 685 φορές

Όπως
Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος απέχει εξίσου από τα άκρα του τμήματος αυτού στο επίπεδο,
έτσι και
κάθε σημείο του μεσοκαθέτου επιπέδου ενός ευθυγράμμου τμήματος απέχει εξίσου από τα άκρα του τμήματος αυτού στο χώρο.

Στο τυχαίο τετράεδρο $\displaystyle{OABC}$ του ανωτέρω σχήματος φέρουμε τα δύο μεσοκάθετα επίπεδα στις ακμές $\displaystyle{AC, BC}$ που θα τμηθούν γιατί οι ακμές αυτές δεν είναι
μεταξύ των παραλληλες. Η ευθεία τομής αυτών είναι η $\displaystyle{(x)}$ που τέμνει κάθετα την έδρα $\displaystyle{ABC}$ στο σημείο $\displaystyle{O_1}$ .

Η ευθεία αυτή $\displaystyle{(x)}$ ως τομή δύο μεσοκαθέτων επιπέδων συγκεντρώνει τις ιδιότητες αυτών και κατά συνέπεια κάθε σημείο της ισαπέχει από τα σημεία: $\displaystyle{A,B,C}$ (1)
Επομένως και το σημείο $\displaystyle{O_1}$ είναι το περίκεντρο της έδρας $\displaystyle{ABC}$ του τετραέδρου.

Όμοια φέρουμε τα δύο μεσοκάθετα επίπεδα στις ακμές $\displaystyle{OB, BC}$ που τέμνονται κατά την $\displaystyle{(y)}$ .
Για τον ίδιο λόγο κάθε σημείο αυτής ισαπέχει από τις κορυφές $\displaystyle{O,B,C}$ (2)
Επίσης η $\displaystyle{(y)}$ τέμνει κάθετα την έδρα $\displaystyle{OBC}$ στο σημείο $\displaystyle{O_2}$ το οποίο είναι το περίκεντρο της έδρας $\displaystyle{OBC}$ .

Τέλος οι ευθείες $\displaystyle{(x), (y)}$ τέμνονται γιατί ανήκουν στο ίδιο μεσοκάθετο επίπεδο προς την ακμή $\displaystyle{BC}$ και δεν είναι παράλληλες αφού οι έδρες $\displaystyle{(ABC),(OBC)}$ προς τις οποίες είναι
κάθετες δεν ταυτίζονται ή γενικά δεν είναι παράλληλες.

Το σημείο τομής των $\displaystyle{(x), (y)}$ είναι το σημείο $\displaystyle{(K)}$ και λόγω των (1) και (2) ισαπέχει από τις τέσσερις κορυφές του τετραέδρου.
Δηλαδή: $\displaystyle{KO=KA=KB=KC}$
Άρα το σημείο $\displaystyle{K}$ είναι το ζητούμενο κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας κι έτσι το τυχαίο τετράεδρο είναι εγγράψιμο σε σφαίρα.

Κώστας Δόρτσιος

#4

Δίνω και μια αλγεβρική απόδειξη:

Έστω $x_1,\ldots,x_4 \in \mathbb{R}^3$ οι κορυφές του τετραέδρου. Τα x_1-x_2,x_1-x_3,x_1-x_4

πρέπει να είναι γραμμικώς ανεξάρτητα αφού αλλιώς τα σημεία θα ανήκαν όλα στο ίδιο επίπεδο. (Π.χ αν ο συντελεστή του x_1-x_4

δεν είναι μηδέν τότε το x_4

θα βρίσκεται στο επίπεδο που ορίζουν τα x_1,x_2,x_3

.) Θέλουμε να βρούμε σημείο $y \in \mathbb{R}^3$ το οποίο να ισαπέχει από τα $x_1,\ldots,x_4 \in \mathbb{R}^3$ . Θέλουμε λοιπόν να λύσουμε το σύστημα $\|y-x_1\|^2 = \cdots = \|y-x_4\|^2$ ή ισοδύναμα το σύστημα
$\displaystyle{ (x_1-x_2)\cdot y = \frac{\|x_2\|^2 - \|x_1\|^2}{2}}$
$\displaystyle{ (x_1-x_3)\cdot y = \frac{\|x_3\|^2 - \|x_1\|^2}{2}}$
$\displaystyle{ (x_1-x_4)\cdot y = \frac{\|x_4\|^2 - \|x_1\|^2}{2}}$
το οποίο ως γραμμικό σύστημα έχει μοναδική λύση αφού όπως παρατηρήσαμε τα x_1-x_2,x_1-x_3,x_1-x_4

είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

Η απόδειξη γενικεύεται για να δείξει ότι κάθε n+1

σημεία στο $\mathbb{R}^n$ , όχι όλα στο ίδιο υπερεπίπεδο, ανήκουν στην ίδια σφαίρα.

#5

το Β έχει την ίδια δύναμη, 0 ,ως προς τους κύκλους ABC ,OBC. Ομοίως και το C. H άσκηση λοιπόν είναι ειδική περίπτωση αυτής(2)

Tετράεδρο και σφαίρα

Tετράεδρο και σφαίρα

Re: Tετράεδρο και σφαίρα

Re: Tετράεδρο και σφαίρα

Re: Tετράεδρο και σφαίρα

Re: Tετράεδρο και σφαίρα

Μέλη σε σύνδεση