Στερεομετρία(5)

#1

Έστω ρόμβος $\displaystyle{ {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$
με διαγωνίους $\displaystyle{ {\rm A}\Gamma = 2a,B\Delta = 2b,a,b > 0 }$
Από τα σημεία $\displaystyle{ {\rm A},\Gamma }$ υψώνω καθέτους στο επίπεδο του ρόμβου
και λαμβάνω πάνω σε αυτές
$\displaystyle{ \begin{array}{l} {\rm A}E = m,\Gamma {\rm Z} = n, \\ m,n > 0 \\ \end{array} }$
Να βρείτε τον όγκο της πυραμίδας $\displaystyle{ {\rm B}\Delta {\rm E}{\rm Z} }$
(Προφανώς σε σχέση με τα a,b,m,n

)

#2

Υπάρχει έτοιμος τύπος http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron , ο λεγόμενος Cayley-Menger , που δίνει τον όγκο τετραέδρου συναρτήσει των ακμών του. Εδώ είναι όλες οι ακμές εύκολα υπολογίσιμες από το Πυθαγόρειο.

Για παράδειγμα DE^2 = AE^2 + AD^2 = m^2+(a^2+b^2)

και όμοια οι EB, DZ, BZ

. Επίσης, άμεσα EZ^2= AC^2 + (CZ-AE)^2

, όποτε μένει να κάνουμε τις πράξεις ρουτίνας (δεν τις έκανα).

Μ.

#3

Χρήστο παραθέτω κι ένα σχήμα για διευκόλυνση της εποπτείας
στην άσκησή σου.(Σχήμα πρώτο)

: Όγκος.PNG (54.25 KiB) Προβλήθηκε 1181 φορές

κι ακόμα σημειώνω ένα ακόμα τύπο που φέρεται ως τύπος του Euler για τον υπολογισμό
του όγκου ενός τετραέδρου με δεδομένο το μήκος των έξι ακμών του:

: Τύπος του Euler.PNG (36.92 KiB) Προβλήθηκε 1181 φορές

Όγκος τετραέδρου με ακμές: $\displaystyle{a,b,c,d,e,f}$ (Δεύτερο σχήμα)

$\displaystyle{V=\frac{1}{12}(\sqrt{P-Q+R})}$
όπου:
$\displaystyle{P=4a^2b^2c^2}$ ,
$\displaystyle{Q=a^2E^2-b^2F^2-c^2D^2}$
$\displaystyle{R=D\cdot E \cdot F}$
και
$\displaystyle{D=a^2+b^2-d^2}$
$\displaystyle{E=b^2+c^2-e^2}$
$\displaystyle{F=c^2+a^2-f^2}$

Όγκος Τετραέδρου(Τύπος του Euler) 1.doc: (27.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 52 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#4

KDORTSI έγραψε:Χρήστο παραθέτω κι ένα σχήμα για διευκόλυνση της εποπτείας
στην άσκησή σου.
Κώστας Δόρτσιος

Κώστα, εδώ δράττομαι της ευκαιρίας ώστε να σε ευχαριστήσω γιατί χάρη στα σχηματά σου αλλά και με τις λύσεις σου
τα θέματα αυτά, παίρνουν μία άλλη διάσταση.
Αυτό χωρίς να θέλω να βάλω σε δεύτερη μοίρα τις λύσεις όλων των υπόλοιπων συναδέλφων που επίσης είναι εξαιρετικές.
Χίλια ευχαριστώ!
Καλημέρα.

#5

Χρήστο Καλημέρα.
Κι εγώ σ' ευχαριστώ για την εκτίμηση που τρέφεις για τα σχήματά μου. Απλά θέλω
να ξαναπώ πως μέσα σε τούτο το χώρο, δεν ξέρω αν είναι αυταπάτη μου
ή ύπέρμετρος ρομαντισμός, γίνεται δουλειά μεγάλη, δουλειά εθελοντική και άδολη, δουλειά επιστημονική.
Εγώ θαυμάζω τις ιδέες, είτε αυτές έρχονται από το "παρελθόν" όπως είναι η Στερεομετρία,
είτε από τον λεγόμενο σύγχρονο προβληματισμό σε θέματα ανάλυσης,θεωρίας αριθμών, και
ό,τι άλλο μπορεί κανείς να δεί στην όλη πραμάτεια του mathematica.
Χθές το βράδυ και μετά από μια ηλιόλουστη μέρα που χάρηκα στο χωριό μου ψηλά στις ήμερες χιονισμένες ράχες
του Αγίου Νικολάου δεν είχα ύπνο και είδα την άσκησή σου στη Στερεομετρία κοντά στις 3 το πρωί.
Εκεί συνάντησα κι άλλους. Κι αυτοί με αϋπνίες. Είδα την απάντηση του Μιχάλη του Λάμπρου που πάντα είναι παρών
στις οθόνες του φόρουμ και ένιωσα την ανάγκη να προσθέσω κι εγώ κάτι δικό μου. Και βρήκα κάτι
εύκολο. Να βάλω ένα σχήμα όμορφο από το Cabri 3d.

Σ' ευχαριστώ.

S.E.Louridas · #6

KDORTSI έγραψε:
....Εγώ θαυμάζω τις ιδέες, είτε αυτές έρχονται από το "παρελθόν" όπως είναι η Στερεομετρία,
είτε από τον λεγόμενο σύγχρονο προβληματισμό σε θέματα ανάλυσης,θεωρίας αριθμών, και
ό,τι άλλο μπορεί κανείς να δεί στην όλη πραμάτεια του mathematica.....

Φίλε και Άριστε συνάδελφε Κώστα Καλημέρα.
Κατά την ταπεινή μου άποψη μπορεί η στερεομετρία να έρχεται από το παρελθόν, όμως στοχεύει πάντα στο μέλλον.
Γιά παράδειγμα, είναι δυνατόν να εισέρθει κανείς επιτυχώς στίς έννοιες των Επικαμπύλιων Ολοκληρωμάτων, των επιφανειακών και πολλαπλών Ολοκληρωμάτων ή της κατανόησης του εκπληκτικού τελεστή gradien κ.τ.λ., κ.τ.λ., χωρίς την επαφή με την άγια Στερεομετρία;
Κάποτε, κατά την προσωπική μου άποψη, η σκοπιμότητα θα πρέπει να αντικατασταθεί από την αναγκαιότητα.

S.E.Louridas

#7

Σωτήρη καλημέρα.
Συμφωνώ απόλυτα μαζί σου σχετικά με την αντίληψη που εκφράζεις για τη Γεωμετρία!
Έχουμε εξάλλου συζητήσει για το θέμα αυτό κι από κοντά.
Για τη φράση που χρησιμοποίησα πως η Στερεομετρία και γενικά η Γεωμετρία έρχονται από το "παρελθόν"
εννούσα δύο θέματα:

1ο) Πως το μάθημα αυτό στο σχολικό πρόγραμμα έχει μείνει στο παρελθόν κι αυτό είναι όπως τονίζεις θλιβερό για την μετέπειτα πορεία εκείνων
που θα προχωρήσουν στα μαθηματικά και όχι μόνο.
και
2ο) Πως η επιστήμη αυτή έρχεται από το απώτερο παρελθόν και μάλιστα ελληνικό παρελθόν, πριν από τον Αιγυπτιακό πολιτισμό.

Αντιγράφω ένα απόσπασμα από το βιβλίο "Ελληνικά Μαθηματικά" του Ε. Σταμάτη, της Εταιρείας των Φίλων του Λαού, Αθήναι 1976, σελ.112:

"Ὁ Ἡρόδοτος σχετικῶς πρός τήν Γεωμετρίαν(Β 109), γράφει τά ἑξῆς:
"δοκέει μοι ἐντεῦθεν γεωμετρίη εὑρεθεῖσα εἰς τήν Ἑλλάδα ἐπανελθεῖν",
δηλαδή νομίζω, ὅτι ἀπό ἐδῶ (τήν Αἴγυπτον), ἡ Γεωμετρία, αφοῦ εὑρέθη, ἐπανῆλθεν εἰς τήν Ἑλλάδα"
Δηλαδή πως η Γεωμετρία είχε καλλιεργηθεί πρώτα στην Ελλάδα και μετά στην Αίγυπτο από την οποία επανήλθε στην Ελλάδα.

Σ' αυτό το σημείο ο Ε.Σταμάτης συνεχίζει να γράφει:

"Κατά ταύτην, ὑποστηρίζεται ὅτι ἡ Γεωμετρία εἰσήχθη εἰς τήν Αἴγυπτον ἐκ τῆς Ἑλλάδος, συμφώνως πρός τά ὑπό τοῦ Αἰγυπτίου ἱερέως πρός
τόν Σόλωνα ἀνακοινωθέντα καί μετά τήν ἐν Ἑλλάδι καταστροφήν ἐκ τοῦ κατακλυσμοῦ τοῦ Δευκαλίωνος ἐπανῆλθεν αὕτη ἐκ τῆς Αἰγύπτου εἰς
τήν Ἑλλάδα"

Ύστερα απ' αυτά κι όχι με αισθήματα ρατσιστικής αντίληψης, ούτε με ψευδαισθήσεις άγονης προγονολατρείας, και σχολαστικισμού η Γεωμετρία προβάλλει
μέσα σε μια διαχρονική οικουμενικότητα, ενός ευρύτερου πολιστισμικού και πνευματικού πλαισίου και σαφώς αδικείται από το σχολικό μας πρόγραμμα.
Όμως μέσα στο φόρουμ αυτό βρίσκει νομίζω καθημερινά τη θέση της.

Κώστας Δόρτσιος

S.E.Louridas · #8

Aκριβώς Κώστα,
είναι όπως τα τεκμηριώνεις επιστημονικά με τον τρόπο που εσύ γνωρίζεις και βέβαια στηριζόμενος και στην τεράστια εμπειρία σου σαν σχολικός σύμβουλος, γνωρίζοντας από κοντά τα προβλήματα.
Για τούτο ενίοτε πρέπει να μας επιτρέπεται να " προκαλούμε " να εκτίθενται τέτοιες τεκμηριομένες πράγματι απόψεις (σαν τις δικές σου).

S.E.Louridas

#9

Σύμφωνα με ένα υπέροχο θεώρημα που έχει εφαρμογή εδώ, ο όγκος οποιουδήποτε τετραέδρου με δύο ορθογώνιες απέναντι ακμές ισούται προς το ένα έκτο του γινομένου των μηκών τους και της απόστασης τους. (Για την απόδειξη εκμεταλλευόμαστε την ορθογωνιότητα για να σπάσουμε το τετράεδρο σε δύο τετράεδρα στο καθένα από τα οποία μία ακμή είναι και ύψος.)

Παρατηρούμε -- σχήμα Κώστα Δόρτσιου -- ότι η απόσταση ανάμεσα στις ορθογώνιες ακμές $B\Delta$ και

είναι ίση προς OO'

, όπου

το μέσο της $A\Gamma$ και

η προβολή του στην

. Επίσης αν

η προβολή του

στην

και

το μέσο της

τα ορθογώνια τρίγωνα Z'EZ

και

είναι όμοια, οπότε από την $\frac{|EZ|}{|MO|}=\frac{|ZZ'|}{|OO'|}$ έχουμε $|OO'|=\frac{|MO|\cdot|ZZ'|}{|EZ|}=\frac{(\frac{|AE|+|\Gamma Z|}{2})\cdot|A\Gamma|}{|EZ|}=\frac{(m+n)a}{|EZ|}$ . Σύμφωνα με το θεώρημα της προηγουμένης παραγράφου $(B\Delta EZ)=\frac{1}{6}\cdot|B\Delta|\cdot|EZ|\cdot|OO'|=\frac{(m+n)ab}{3}$ .

Το θεώρημα που χρησιμοποιήθηκε είναι βέβαια στοιχειώδες, αλλά μπορεί να μην είναι γνωστό στον μέσο υποψήφιο ΑΣΕΠ: καλύτερα να είναι γνωστό (και μάλιστα από εδώ και πέρα), αν όμως δεν είναι τότε ο υποψήφιος ΑΣΕΠ έχει και άλλο τρόπο υπολογισμού του ζητούμενου όγκου ... με χρήση εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων (εντός ύλης ΑΣΕΠ). Πράγματι

$(B\Delta EZ)=\frac{1}{6}\cdot|\overrightarrow{B\Delta}\cdot(\overrightarrow{BE}\times\overrightarrow{BZ})|=\frac{1}{6}\cdot|<0,\,2b,\,0>\cdot(<-a,\, b,\, m>\times<a,\, b,\, n>)|=\frac{1}{6}\cdot|<0,\,2b,\,0>\cdot<(n-m)b,\,(n+m)a,\,-2ab>|=\frac{(m+n)ab}{3},$

έχοντας χρησιμοποιήσει τις συντεταγμένες A=(-a, 0, 0)

,

, $\Gamma=(a, 0, 0)$ , $\Delta=(0, b, 0)$ , E=(-a, 0, m)

,

.

[Ο τύπος που χρησιμοποιήθηκε βασίζεται στις ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων (να έχει μέτρο ίσο προς το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα δύο διανύσματα και διεύθυνση κάθετη προς αυτό) ... αλλά και στην ισότητα του εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων προς το γινόμενο του μέτρου του ενός επί το μέτρο της προβολής του άλλου πάνω του. (Πράγματι το μέτρο της προβολής του $\overrightarrow{B\Delta}$ στο $\overrightarrow{BE}\times\overrightarrow{BZ}$ μας δίνει το από $\Delta$ ύψος του τετραέδρου $B\Delta EZ$ , αλλά και του παραλληλεπιπέδου που ως γνωστόν διαμερίζεται σε

αντίγραφα του $B\Delta EZ$ , ενώ το μέτρο του $\overrightarrow{BE}\times\overrightarrow{BZ}$ μας δίνει το εμβαδόν της βάσης του παραλληλεπιπέδου (διπλάσιο του εμβαδού της βάσης BEZ

του τετραέδρου), κλπ κλπ)]

Γιώργος Μπαλόγλου

#10

KDORTSI έγραψε:Αντιγράφω ένα απόσπασμα από το βιβλίο "Ελληνικά Μαθηματικά" του Ε. Σταμάτη, της Εταιρείας των Φίλων του Λαού, Αθήναι 1976, σελ.112:

"Ὁ Ἡρόδοτος σχετικῶς πρός τήν Γεωμετρίαν(Β 109), γράφει τά ἑξῆς:
"δοκέει μοι ἐντεῦθεν γεωμετρίη εὑρεθεῖσα εἰς τήν Ἑλλάδα ἐπανελθεῖν",
δηλαδή νομίζω, ὅτι ἀπό ἐδῶ (τήν Αἴγυπτον), ἡ Γεωμετρία, αφοῦ εὑρέθη, ἐπανῆλθεν εἰς τήν Ἑλλάδα"
Δηλαδή πως η Γεωμετρία είχε καλλιεργηθεί πρώτα στην Ελλάδα και μετά στην Αίγυπτο από την οποία επανήλθε στην Ελλάδα.

Σ' αυτό το σημείο ο Ε.Σταμάτης συνεχίζει να γράφει:

"Κατά ταύτην, ὑποστηρίζεται ὅτι ἡ Γεωμετρία εἰσήχθη εἰς τήν Αἴγυπτον ἐκ τῆς Ἑλλάδος, συμφώνως πρός τά ὑπό τοῦ Αἰγυπτίου ἱερέως πρός
τόν Σόλωνα ἀνακοινωθέντα καί μετά τήν ἐν Ἑλλάδι καταστροφήν ἐκ τοῦ κατακλυσμοῦ τοῦ Δευκαλίωνος ἐπανῆλθεν αὕτη ἐκ τῆς Αἰγύπτου εἰς
τήν Ἑλλάδα"

Κώστα νομίζω πως ο Ηρόδοτος μας έχει άθελα του στήσει μία μεγάλη παγίδα με το επανελθείν: όντως η κύρια χρήση του ρήματος αυτού στην αρχαιότητα είναι ίδια με την σημερινή, στον Ηρόδοτο όμως, ο οποίος το χρησιμοποιεί μία και μοναδική φορά (στο χωρίο που συζητάμε), όλα δείχνουν ότι έχουμε ιδιάζουσα χρήση ("επάνω-ήλθε", "ανέβηκε", "προχώρησε" (η Γεωμετρία από την Αίγυπτο στην Ελλάδα)). Και άλλες αναφορές στον ίδιο τον Ηρόδοτο (βλέπε άλλωστε και σχετική συζήτηση

εδώ), αλλά και η αμέσως επόμενη πρόταση του χωρίου που μας ενδιαφέρει (Πόλον μὲν γὰρ καὶ γνώμονα καὶ τὰ δυώδεκα μέρεα τῆς ἡμέρης παρὰ Βαβυλωνίων ἔμαθον οἱ Ἕλληνες = "μια και το ηλιακό ρολόι και τα δώδεκα μέρη της ημέρας οι Έλληνες τα έμαθαν από τους Βαβυλώνιους") συνηγορούν...

Γιώργος Μπαλόγλου

#11

Ο εύκολος τρόπος:

$(B\Delta EZ)=(BAEZ\Gamma)+(\Delta AEZ\Gamma)-(EA\Delta B)-(Z\Gamma \Delta B)=2(BAEZ\Gamma)-(EA\Delta B)-(Z\Gamma \Delta B)=2\cdot\{\frac{1}{3}b[(\frac{m+n}{2})\cdot2a]\}-\frac{1}{3}m[\frac{1}{2}(2b)\cdot a]-\frac{1}{3}n[\frac{1}{2}(2b)\cdot a]=\frac{(m+n)ab}{3}$

Γιώργος Μπαλόγλου

#12

Γιώργο Καλημέρα.

Ναί έχεις δίκιο σε ό,τι αφορά το γεγονός πως η κρατούσα άποψη είναι πως τα πρώτα λίκνα της Γεωμετρίας καθώς
και της Αριθμητικής υπήρξε η Αιγυπτος, Μεσοποταμία, Ινδία και γενικότερα τα μέρη αυτά της Ανατολής όπου
οι μεγάλοι φιλόσοφοι της προσωκρατικής ελληνικής αρχαιότητας ταξίδευαν και μάθαιναν.

Επίσης και οι αναφορές των ελλήνων ιστορικών της ύστερης αρχαιότητας όταν περιγράφουν την ανάπτυξη του
πολιτισμού στις χώρες αυτές μιλούν για την επίδραση πάντα ενός μεγάλου ποταμού(Νείλος, Τίγρις και Εφράτης, Ινδός ποταμός)
που επηρέασαν την εξέλιξη της Γεωμετρίας και της αριθμητικής. Τα ευρήματα εξάλλου είναι αρκετά από τις εποχές εκείνες.

Όμως τα πράγματα δεν ξεκινούν από το 3000π.Χ., εποχή της ανάπτυξης των λαών αυτών. Ο Ε.Σταμάτης μιλά, στο βιβλίο που
ανάφερα στο προηγούμενο μήνυμά μου, για παλαιότερη εποχή που βέβαια χάνεται στο μεγάλο "κώνο του παρελθόντος".
Είναι η εποχή του 9800π.Χ, εποχή του μυθικού Δευκαλίωνα και της βύθισης της Ατλαντίδας. Είναι η εποχή που η Ελλάδα
βρίσκονταν σε μεγάλη ακμή και σε μεγάλο πολιτισμό, αφού είχε κυριαρχήσει σε εκείνον της Ατλαντίδας.
Εξάλλου και πάντα σύμφωνα με τα γραφόμενα του Ε. Σταμάτη, τα μεγάλα ομηρικά έπη, καθώς και τα κείμενα του Ησίοδου
που είναι οι"μεγάλες δεξαμενές" της γλώσσας μας και τα οποία αγγίζουν την τελειότητα της γλωσσικής έκφρασης(δομή,ύφος, νόημα)
δεν είναι προϊόντα μερικών εκατοντάδων ετών αλλά χιλιετιών. Το ίδιο ισχύει και για τον Κρητικό, Κυκλαδικό και Μυκηναϊκό πολιτισμό.

Εξάλλου για τον πολιτισμό της Ελλάδας κατά την περίοδο της Ατλαντίδας, μας περιγράφει ο Πλάτωνας κυρίως στον Τίμαιο. Ο Τίμαιος
είναι ένα βιβλίο που ο μεγάλος ζωγράφος Ραφαήλ διάλεξε να βάλει στη μασχάλη του Πλάτωνα στο μεγάλο πίνακα "Η σχολή των Αθηνών"
το 1510 στην αίθουσα του Βατικανού. Ο Τίμαιος, η κοσμολογία του Πλάτωνα, είναι ένα από τα πιο διαβασμένα βιβλία την εποχή του μεσαίωνα
και της Αναγέννησης στην Ευρώπη. Εκεί ο Αιγύπτιος ιερέας μιλά για όλα αυτά και εξιστορεί στο Σόλωνα την Ελλάδα της εποχής εκείνης.

Και καταλήγει ο Ε.Σταμάτης στο βιβλίο του "Ελληνικά Μαθηματικά":
"Ὡς συνάγεται ἐκ τοῦ Τιμαίου τοῦ Πλάτωνος ὁ ἀρχαιότερος πολιτισμός ἐπί τῆς γῆς καί συνεπῶς καί ἡ δημιουργία τῆς γεωμετρίας ἐδημιουργήθη
εἰς τόν ἑλληνικόν χῶρον πολύ πρό τοῦ κατακλυσμοῦ τοῦ Δευκαλίωνος"

Κώστας Δόρτσιος

Στερεομετρία(5)

Στερεομετρία(5)

Re: Στερεομετρία(5)

Re: Στερεομετρία(5)

Re: Στερεομετρία(5)

Re: Στερεομετρία(5)

Re: Στερεομετρία(5)

Re: Στερεομετρία(5)

Re: Στερεομετρία(5)

Re: Στερεομετρία(5)

Re: Στερεομετρία(5)

Re: Στερεομετρία(5)

Re: Στερεομετρία(5)

Μέλη σε σύνδεση