ΑΣΕΠ 10

Α.Κυριακόπουλος · #1

Να βρείτε τους ρητούς αριθμούς

, για τους οποίους ο αριθμός: $\sqrt {{x^2} + x + 3}$ είναι ρητός.

#2

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Να βρείτε τους ρητούς αριθμούς , για τους οποίους ο αριθμός: $\sqrt {{x^2} + x + 3}$ είναι ρητός.

Αν ο $\sqrt {{x^2} + x + 3}$ είναι ρητός, τότε και ο $\sqrt {{x^2} + x + 3}-x=k$ (1) θα είναι επίσης ρητός.

Από την (1) παίρνουμε $\displaystyle{x^2+x+3=x^2+2kx+k^2 \Rightarrow x=\frac {k^2-3}{1-2k}, k \in \Bbb{Q} \setminus \{\frac {1}{2}\}}$ .

Συνεπώς αναγκαία συνθήκη για να ισχύει το ζητούμενο είναι $\displaystyle{x=\frac {k^2-3}{1-2k}, k \in \Bbb{Q} \setminus \{\frac {1}{2}\}}$ .

Τώρα αν $\displaystyle{x=\frac {k^2-3}{1-2k}, k \neq \frac {1}{2}}$ έχουμε

$\displaystyle{x^2+x+3=...=\frac {k^4-2k^3+7k^2-6k+9}{(1-2k)^2}=\left(\frac {k^2-k+3}{1-2k}\right)^2}$ ,

άρα το

που βρήκαμε είναι δεκτό

#3

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Να βρείτε τους ρητούς αριθμούς , για τους οποίους ο αριθμός: $\sqrt {{x^2} + x + 3}$ είναι ρητός.

Πολλή ωραία λύση.

Αλλιώς: Από γνωστή θεωρία περί αρρήτων, θα υπάρχει ρητός

με

. Η διακρίνουσα της δευτεροβάθμιας ως προς

πρέπει (και αρκεί) να είναι τέλειο τετράγωνο ρητού, δηλαδή υπάρχει ρητός

με

, ισοδύναμα (2q-m)(2q+m)=11

. Άρα

για κάποιον ρητό $p \ne 0$ . Λύνοντας τα βρούμε $\displaystyle{ q= \frac {11+p^2}{4p}, \, m = \frac {11-p^2}{2p}\, \, (*)$ που με αντικατάσταση στη λύση της δευτεροβάθμιας δίνει $x = \frac{ -1 \pm m}{2}= \frac {-2p\pm (11-p^2)}{4p}$ . Εύκολα ελέγχουμε (αν και δεν είναι απαραίτητο γιατί τα βήματα είναι αντιστρέψιμα) ότι η αρχική παράσταση μέσα στο ριζικό είναι τέλειο τετράγωνο (συγκεκριμένα q^2

για το

στην

).

Φιλικά,

Μιχάλης

Α.Κυριακόπουλος · #4

Και μία ακόμα:
«Να βρείτε τους ρητούς αριθμούς

, για τους οποίους ο αριθμός: $\sqrt {8{x^2} - 2x - 3}$ είναι ρητός»

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΑΣΕΠ 10

ΑΣΕΠ 10

Re: ΑΣΕΠ 10

Re: ΑΣΕΠ 10

Re: ΑΣΕΠ 10

Re: ΑΣΕΠ 10

Μέλη σε σύνδεση