Ελάχιστο μήκος τσάκισης σε διπλωμένο ορθογώνιο

parmenides51 · #1

Από το ίντερνετ. Η πηγή θα δοθεί μετά την λύση.

Διπλώνουμε την μια κορυφή σε ορθογώνιο χαρτί διαστάσεων $\displaystyle{6}$ και $\displaystyle{12}$ μέχρι να φτάσει την πλησιέστερη πλευρά (όπως στο σχήμα).
Να βρείτε το ελάχιστο μήκος της τσάκισης (cease στο σχήμα).

: cease.gif (2.34 KiB) Προβλήθηκε 942 φορές

#2

Επιχειρώ μια προσέγγιση που μάλλον δεν θα είχε τύχη σε εξετάσεις τύπου ΑΣΕΠ, γιατί αναγκάστηκα να προσφύγω στη χρήση τεχνολογίας (Geogebra) για τον προσδιορισμό του ακροτάτου.

: 24-04-2012 Γεωμετρία.jpg (18.43 KiB) Προβλήθηκε 858 φορές

Έστω

, οπότε

.

Είναι $\displaystyle \widehat{HKE} = \widehat{AEZ} = \omega$ γιατί έχουν πλευρές κάθετες.

Οπότε $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \omega = \frac{6}{x} \Leftrightarrow x = \frac{6}{{\sigma \upsilon \nu \omega }},\;\;\eta \mu \omega = \frac{{6 - y}}{y} \Leftrightarrow y = \frac{6}{{\eta \mu \omega + 1}}$

ΣΧΟΛΙΟ: Πρέπει $12 \geq x > 6$ , ώστε KE > KH = 6

Επίσης είναι $\displaystyle 15^\circ \le \widehat{{\rm Z}{\rm B}{\rm K}} \le 45^\circ \Leftrightarrow 30^\circ \le \widehat{{\rm E}{\rm K}{\rm B}} \le 90^\circ \Leftrightarrow 0^\circ \le \omega \le 60^\circ$

$\displaystyle 0 \le \eta \mu \omega \le \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow 0 \le \frac{{6 - y}}{y} \le \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{12}}{{\sqrt 3 + 2}} \le y \le 6$

Είναι $\displaystyle KZ = \sqrt {x^2 + y^2 }$ παίρνει ελάχιστο όταν η συνάρτηση

$\displaystyle x^2 + y^2 = f\left( \omega \right) = \frac{{36}}{{\sigma \upsilon \nu ^2 \omega }} + \frac{{36}}{{\left( {\eta \mu \omega + 1} \right)^2 }},\;\;0 \le \omega \le \frac{\pi }{3}$ παίρνει ελάχιστο.

Βρίσκω προσεγγιστικά για $\displaystyle \omega \cong 19,8^\circ$ ότι το ελάχιστο είναι $\displaystyle {\rm K}{\rm Z} = 7,78$

edit: Έκανα μια διόρθωση στις δυνατές τιμές του

.

parmenides51 · #3

για διευκόλυνση δίνω το αποτέλεσμα

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

Συνεχίζοντας με την παρότρυνση του Παρμενίδη:

Θέτω $\displaystyle t = \eta \mu \omega ,\;\;0 \le t \le \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ οπότε η συνάρτηση γράφεται:
$\displaystyle f\left( t \right) = \frac{{36}}{{1 - t^2 }} + \frac{{36}}{{\left( {1 + t} \right)^2 }},\;\;0 \le t \le \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Είναι παραγωγίσιμη με
$\displaystyle f'\left( t \right) = 36\left[ {\left( {1 - t^2 } \right)^{ - 1} + \left( {t + 1} \right)^{ - 2} } \right]^\prime = 36\left[ { - \frac{{ - 2t}}{{\left( {1 - t^2 } \right)^2 }} + \frac{{ - 2}}{{\left( {t + 1} \right)^3 }}} \right] =$
$\displaystyle = 72 \cdot \frac{{t\left( {t + 1} \right) - \left( {1 - t} \right)^2 }}{{\left( {1 - t} \right)^2 \left( {1 + t} \right)^3 }} = 72 \cdot \frac{{3t - 1}}{{\left( {1 - t} \right)^2 \left( {1 + t} \right)^3 }}$

Έχει ελάχιστο στο $\displaystyle t = \frac{1}{3}$ το $\displaystyle f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{9^2 \cdot 3}}{4}$

Οπότε ελάχιστη τμή του

είναι $\displaystyle \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$ .

parmenides51 · #5

μιας που επανήλθε στο προσκήνιο, ας δώσω και την πηγή (problem 21)

S.E.Louridas · #6

Λύνεται και με βάση το πρόβλημα που τέθηκε εδώ:
viewtopic.php?f=56&t=25492&p=127295#p127295

Ελάχιστο μήκος τσάκισης σε διπλωμένο ορθογώνιο

Ελάχιστο μήκος τσάκισης σε διπλωμένο ορθογώνιο

Re: Ελάχιστο μήκος τσάκισης σε διπλωμένο ορθογώνιο

Re: Ελάχιστο μήκος τσάκισης σε διπλωμένο ορθογώνιο

Re: Ελάχιστο μήκος τσάκισης σε διπλωμένο ορθογώνιο

Re: Ελάχιστο μήκος τσάκισης σε διπλωμένο ορθογώνιο

Re: Ελάχιστο μήκος τσάκισης σε διπλωμένο ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση