Αποδείξτε ότι ...

S.E.Louridas · #1

Αποδείξτε ότι αν δύο από τα ύψη ενός τετραέδρου τέμνονται, τότε θα τέμνονται και τα άλλα δύο ύψη του.

#2

Έστω τετράεδρο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ .

Ισχυρισμός: Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:
(i) Τα ύψη που αντιστοιχούν στις κορυφές $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ τέμνονται.
(ii) Οι απέναντι ακμές $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},\Gamma \Delta }$ είναι ορθογώνιες.

Απόδειξη του Ισχυρισμού: (i) $\displaystyle{ \Rightarrow }$ (ii) Έστω ότι τα ύψη $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ και $\displaystyle{{\rm B}\Theta }$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{{\rm H}}$ . Ονομάζουμε $\displaystyle{{\rm Z}}$ το σημείο τομής της $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ με το επίπεδο που ορίζεται από τα ύψη $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ και $\displaystyle{{\rm B}\Theta }$ . Εφόσον η $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ είναι κάθετη στο επίπεδο $\displaystyle{{\rm B}\Gamma \Delta }$ , η $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ είναι ορθογώνια στην $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ . Όμοια, η $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ είναι ορθογώνια στη $\displaystyle{{\rm B}\Theta }$ . Επομένως, η $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ είναι κάθετη στο επίπεδο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}{\rm Z}}$ , οπότε θα είναι και ορθογώνια στην $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ .

(ii) $\displaystyle{ \Rightarrow }$ (i) Υποθέτουμε ότι οι απέναντι ακμές $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},\Gamma \Delta }$ είναι ορθογώνιες. Θα αποδείξουμε ότι οι ευθείες των υψών $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ και $\displaystyle{{\rm B}\Theta }$ τέμνονται. Εφόσον η $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ είναι κάθετη στο επίπεδο $\displaystyle{{\rm B}\Gamma \Delta }$ , η $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ είναι ορθογώνια στην $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ και άρα η $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ είναι κάθετη στο επίπεδο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}{\rm E}}$ . Έστω $\displaystyle{{\rm Z}}$ το σημείο τομής της $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ με το επίπεδο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}{\rm E}}$ . Τότε, τα επίπεδα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}{\rm Z}}$ και $\displaystyle{{\rm A}\Gamma \Delta }$ είναι κάθετα, οπότε η ευθεία $\displaystyle{{\rm B}\Theta }$ , που είναι κάθετη στο επίπεδο $\displaystyle{{\rm A}\Gamma \Delta }$ , θα ανήκει στο επίπεδο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}{\rm Z}}$ . Έτσι, οι ευθείες $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ και $\displaystyle{{\rm B}\Theta }$ είναι συνεπίπεδες και όχι παράλληλες (αφού είναι ύψη του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}{\rm Z}}$ ), οπότε θα τέμνονται.

Το ζητούμενο έπεται άμεσα από τον παραπάνω Ισχυρισμό. Πράγματι, αν τα ύψη $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}}$ και $\displaystyle{{\rm B}\Theta }$ τέμνονται, τότε οι $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},\Gamma \Delta }$ είναι ορθογώνιες και άρα τα ύψη που αντιστοιχούν στις κορυφές $\displaystyle{\Gamma ,\Delta }$ θα τέμνονται.

Ας σημειωθεί ότι το σημείο τομής $\displaystyle{{\rm K}}$ των υψών που αντιστοιχούν στις κορυφές $\displaystyle{\Gamma ,\Delta }$ είναι, γενικά, διαφορετικό από το σημείο τομής $\displaystyle{{\rm H}}$ των υψών που αντιστοιχούν στις κορυφές $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ ! Τα σημεία $\displaystyle{{\rm H},{\rm K}}$ συμπίπτουν όταν το τετράεδρο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ είναι ορθοκεντρικό, δηλαδή όταν οι απέναντι ακμές του είναι ανά δύο ορθογώνιες.

S.E.Louridas · #3

Μετά την άψογη λύση του Βαγγέλη καταθέτω την ημέτερη σκέψη.

Τα ύψη του τετραέδρου από τις κορυφές A,B

ορίζουν ως τεμνόμενα, το κάθετο επίπεδο στην ακμή

και το οποίο διέρχεται από την ακμή

και είναι το επίπεδο ABZ

, αφού τα ύψη αυτά είναι κάθετα στίς δύο έδρες που τέμνονται κατά την ευθεία

.
Θεωρούμε το ύψος του τριγώνου CED

από την κορυφή

. Αυτό ορίζει ευθεία κάθετη στην έδρα ABD

από το τρίτο θεώρημα των τριών καθέτων.
Ομοίως το ύψος του τριγώνου CED

από την κορυφή

είναι κάθετο στην έδρα ABC

.

Αποδείξτε ότι ...

Αποδείξτε ότι ...

Re: Αποδείξτε ότι ...

Re: Αποδείξτε ότι ...

Μέλη σε σύνδεση