Πρίσμα

erxmer · #1

Κανονικό εξαγωνικό πρίσμα είναι εγγεγραμμένο σε κώνο με ακτίνα βάσης

και ύψος

,έτσι ώστε η μια βάση του να βρίσκεται στο επίπεδο της βάσης του κώνου και οι κορυφές της άλλης βάσης να βρίσκονται στην πλάγια επιφάνεια του κώνου.

1) Σε ποιο ύψος του πρίσματος αντιστοιχεί ο μεγαλύτερος όγκος του;

2) Να βρεθεί ο μέγιστος όγκος του πρίσματος συναρτήσει των στοιχείων του κώνου

3) Ο λόγος των εμβαδών των παράπλευρων επιφανειών των δύο σχημάτων, οταν ο όγκος του πρίσματος μεγιστοποιείται

#2

Δεν διαφέρει και πολύ από το γνωστό πρόβλημα εγγραφής κυλίνδρου σε κώνο: από όμοια τρίγωνα (βλέπε συνημμένο) συμπεραίνουμε ότι το ύψος του εξαγωνικού πρίσματος εκφράζεται ως συνάρτηση της ακτίνας

του περιγεγραμμένου κύκλου της βάσης/κορυφής του, $h'=(1-\displaystyle\frac{r}{R})h$ , οπότε ο όγκος του ισούται προς $V(r)=(6\displaystyle\frac{r^2\sqrt{3}}{4})\cdot (1-\displaystyle\frac{r}{R})h$ και η παράπλευρη επιφάνεια του ισούται προς $L(r)=6r(1-\displaystyle\frac{r}{R})h$ ^από εδώ και πέρα η V'(r)=0

μας οδηγεί σε μέγιστο όγκο $V(\displaystyle\frac{2R}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{9}R^2h$ και αντίστοιχη -- όχι μέγιστη* -- παράπλευρη επιφάνεια $L(\displaystyle\frac{2R}{3})=\frac{4}{3}Rh$ .

*από την L'(r)=0

προκύπτει ότι η μέγιστη παράπλευρη επιφάνεια ισούται προς $L(\displaystyle\frac{R}{2})=\frac{3}{2}Rh$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

Πρίσμα

Πρίσμα

Re: Πρίσμα

Μέλη σε σύνδεση