Κοινός όγκος σφαιρών

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

ΑΣΚΗΣΗ
Η θέση δυο ίσων σφαίρων ακτίνας $\displaystyle{ R }$ είναι τέτοια ώστε το κέντρο καθεμιάς να είναι σημείο της επιφάνειας της άλλης. Να βρεθεί ο κοινός τους όγκος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #2

Η τομή με τη σφαίρα κάθε επιπέδου που απέχει απόσταση $\displaystyle{ x }$ από το κέντρο της είναι κύκλος με ακτίνα $\displaystyle{ f(x) }$ και από το πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ότι $\displaystyle{ x^2 + f^2 (x) = R^2 }$ . Επομένως ο ζητούμενος όγκος προκύπτει αθροίζοντας όλα τα εμβαδά από $\displaystyle{ R/2 }$ έως $\displaystyle{ R }$ .
$\displaystyle{ V = 2\pi \int_{R/2}^R {f^2 (x)dx} = 2\pi \int_{R/2}^R {(R^2 - x^2 )dx} = 2\pi \left[ {R^2 x - \frac{{x^3 }}{3}} \right]_{R/2}^R }$
$\displaystyle{ = \frac{{5\pi R^3 }}{{12}} }$

Κοινός όγκος σφαιρών

Κοινός όγκος σφαιρών

Re: Κοινός όγκος σφαιρών

Μέλη σε σύνδεση