Άθροισμα.-2-.

#1

καλημέρα

ακόμα ένα άθροισμα (ίσως και να το έχουμε ξαναδεί-δεν είμαι σίγουρη )

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin 2x}{\cos^{2} x}+\frac{\sin 3x}{\cos^{3} x}+...+\frac{\sin nx}{\cos^{n} x}=\sigma\phi x-\frac{\cos(n+1)x}{\sin x\cdot\cos^{n}x}}$

#2

Φωτεινή έγραψε:καλημέρα

ακόμα ένα άθροισμα (ίσως και να το έχουμε ξαναδεί-δεν είμαι σίγουρη )

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin 2x}{\cos^{2} x}+\frac{\sin 3x}{\cos^{3} x}+...+\frac{\sin nx}{\cos^{n} x}=\sigma\phi x-\frac{\cos(n+1)x}{\sin x\cdot\cos^{n}x}}$

Μέθοδος με ζαβολιά:

Υπάρχει μία μέθοδος που κάνει όλα τα αθροίσματα που μας δίνουν την απάντηση ως συνάρτηση του n.

Πες ότι μας ζητάνε να αποδείξουμε a_1 + a_2 + ... + a_n = S_n

.
Τότε πάμε στο προχειρό μας και λέμε, αφού $a_n = (a_1 + a_2 + ... + a_n) - (a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} = S_n - S_{n-1}$
Ξέρω να γράψω το a_n

ως διαφορά δύο άλλων.
Πάμε τώρα πίσω στο καλό και λέμε στους ανυποψίαστους

"κοίτα, ο γενικός όρος a_n

που μου έδωσες γράφεται $a_n = b_n - b_{n-1}$ " . Δηλαδή εμείς στη θέση του S_n

γράψαμε

για να μην μοιριστούν οι άλλοι την ζαβολιά.

Έτσι, τους λέμε, το άθροισμα είναι τηλεσκοπικό και αμπρακαντάμπρα

$\Sigma_{k=1}^n a_k = \Sigma_{k=1}^n (b_k - b_{k-1}) = b_n - b_0$ .

Στι άθροισμα της Φωτεινής γράφουμε $\frac{\sin kx}{\cos^{k} x} = \frac{\cos kx}{sinx cos^{k} x}- \frac{\cos(k+1)x}{sinx cos^{k+1} x}$ (το "έκανα" στο πρόχειρό μου).

Φιλικά,

Μιχάλης

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Πολύ έξυπνη σκέψη Μιχάλη, αλλά γιατί να εμφανήσουμε τον όρον $b_n -b_{n-1}$ , για να μην μας κλέψουμε την ιδέα; Και ποιος είναι ο όρος b_n

; Ένας οποιοσδήποτε;; Πάντως το έπιασα το σκεπτικό και το έχω ξαναπεί, το πιο πολύτιμο είναι η καταγραφή της πορείας σκέψης και όχι τόσο η επίλυση της άσκησης, αυτό είναι το πολύτιμο στα Μαθηματικά, ο τρόπος σκέψης που θα σε βοηθήσει να κατανοήσεις και να λύσεις παρόμοιες ασκήσεις, η ιδέα αξίζει! Σε ευχαριστούμε Μιχάλη!

#4

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: Και ποιος είναι ο όρος ;

Αυτό που θέλω να πω είναι ότι εμείς γράφουμε το a_n

ως $a_n = S_n - S_{n-1}$ με τις πράξεις στο τελευταίο επεξεργασμένες. Μετά (στο "καλό") αρχίζουμε από κει που φτάσαμε, και ξετιλύγουμε την παράσταση προς τα πίσω. Και όλοι λένε, που το βρήκε ο άτιμος. Μα, μας το έδωσαν!

Ως μέθοδος επίλυσης, είναι βέβαια άψογη. Διδακτικά ... μπάζει. Αλλά εδώ που τα λέμε, σε όλες τις ερευνητικές εργασίες κατά βάθος αυτό κάνουμε. Οι μαθηματικοί είναι οι πρώτοι που κρύβουν τις ιδέες τους! Μια δημοσιευμένη ερευνητική εργασία έχει συνήθως το τελικό προιόν, με μαεστρία επεξεργασμένο, χωρίς να φαίνονται τα χνάρια που μας οδήγησαν στη λύση.

Μου αρέσει να παρομοιάζω τις ερευνητικές εργασίες υψηλού επιπέδου (π.χ. τα Principia του Νεύτωνα, ή το Disquisisiones του Gauss) με τα αρχαία ελληνικά αγάλματα: βλέπεις το τελικό αποτέλεσμα, αλλά τα βήματα μέχρι εκεί, το λάξευμα πετραδάκι πετραδάκι, χάθηκαν.
Έμεινε μόνο το τελευταίο και τέλειο κομμάτι.

Φιλικά,

Μιχάλης

#5

Δηλαδή Δάσκαλε το σκεπτικό έχει ως εξής;

$\displaystyle a_{k}=\frac{\sin kx}{\cos^{k}x}\Big(=S_{k}-S_{k-1}\Big)=\Big(\cot x-\frac{\cos(k+1)x}{\sin x\cos^{k}x}\Big)-\Big(\cot x-\frac{\cos kx}{\sin x\cos^{k-1}x}\Big)\Leftarrow$

$\displaystyle\frac{\sin kx}{\cos^{k}x}=\frac{\cos kx\cos x-\cos(k+1)x}{\sin x\cos^{k}x}\Leftarrow$

$\cos kx\cos x-\cos(k+1)x=\sin kx\sin x\Leftarrow$

$\cos(k+1)=\cos kx\cos x-\sin kx\sin x\Leftarrow\cos(k+1)=\cos(k+1)$ .

Άρα $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{n}\Big(S_{k}-S_{k-1}\Big)=S_{n}=\cot x-\frac{\cos(n+1)x}{\sin x\cos^{n}x}$ .

ΚΑΛΟ!!!!!

A.Spyridakis · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: Μέθοδος με ζαβολιά:

Υπάρχει μία μέθοδος που κάνει όλα τα αθροίσματα που μας δίνουν την απάντηση ως συνάρτηση του n.

Πες ότι μας ζητάνε να αποδείξουμε .
Τότε πάμε στο προχειρό μας και λέμε, αφού $a_n = (a_1 + a_2 + ... + a_n) - (a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} = S_n - S_{n-1}$
Ξέρω να γράψω το ως διαφορά δύο άλλων.
Πάμε τώρα πίσω στο καλό και λέμε στους ανυποψίαστους

"κοίτα, ο γενικός όρος που μου έδωσες γράφεται $a_n = b_n - b_{n-1}$ " . Δηλαδή εμείς στη θέση του γράψαμε για να μην μοιριστούν οι άλλοι την ζαβολιά.

Έτσι, τους λέμε, το άθροισμα είναι τηλεσκοπικό και αμπρακαντάμπρα

$\Sigma_{k=1}^n a_k = \Sigma_{k=1}^n (b_k - b_{k-1}) = b_n - b_0$ .
Φιλικά,

Μιχάλης

Μιχάλη, το

προσεκτικά. Μετά είπα "δεν μπορεί, ΟΛΑ αυτού του είδους τα αθροίσματα μπορούν να υπολογιστούν έτσι

?" ΑΠΟΚΛΕΙΕΤΑΙ! Αλλά αφού το λέει ο Μιχάλης...

Λες?

Το ξαναδιάβασα...

Και...ΝΑΙ!!!

Τέλειο!!!

Συμπέρασμα:

ΥΓ Από αύριο καταργώ τις μισές επαγωγές!

mtsarduckas · #7

Τέλειο!!!

Ευχαριστούμε πολυ κύριε Λάμπρου, η προσφορά σας (γενικότερα) είναι απλά ανεκτίμητη!

Άθροισμα.-2-.

Άθροισμα.-2-.

Re: Άθροισμα.-2-.

Re: Άθροισμα.-2-.

Re: Άθροισμα.-2-.

Re: Άθροισμα.-2-.

Re: Άθροισμα.-2-.

Re: Άθροισμα.-2-.

Μέλη σε σύνδεση