Πακέτο ερωτήσεων γεωμετρίας (1).

#1

Είπα να δίνω , όποτε και όταν μπορώ, ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, με την ελπίδα πως βοηθάω συναδέλφους.

Δίνω πέντε(5) ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Παρακαλώ εκ των προτέρων, όποιο συνάδελφο επιλέξει να ασχοληθεί, ας το κάνει επεξηγηματικά. Ευχαριστώ

(1)

Δίνεται τρίγωνο ABC . Ας είναι Ο το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και Ο' το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Αν προεκτείνουμε την ΑΟ προς το Ο και ονομάσουμε D το σημείο που τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο, τότε θα πρέπει να έχουμε:

(A) CD=BD=O'D
(B) AO=CO=OD
(C) CD=CO=BD
(D) CD=OD=BD
(E) O'B=O'C=OD

(2)

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC , η υποτείνουσα είναι ΑΒ=5 και η κάθετη πλευρά AC=3.Η διχοτόμος της γωνίας Α τέμνει την απέναντι πλευρά στο σημείο $\displaystyle{ A_1 }$
. Ένα δεύτερο ορθογώνιο τρίγωνο PQR κατασκευάζεται με υποτείνουσα $\displaystyle{ PQ = A_1 B }$
και κάθετη πλευρά $\displaystyle{ {\mathop{\rm P}\nolimits} R = A_1 C }$
. Εάν η διχοτόμος της γωνίας Ρ τέμνει την απέναντι κάθετη στο σημείο $\displaystyle{ {\mathop{\rm P}\nolimits} _1 }$
,τότε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{ P{\mathop{\rm P}\nolimits} _1 }$
είναι:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} (A)\frac{{3\sqrt 6 }}{4} \\ (B)\frac{{3\sqrt 5 }}{4} \\ (C)\frac{{3\sqrt 3 }}{4} \\ (D)\frac{{3\sqrt 2 }}{2} \\ (E)\frac{{15\sqrt 2 }}{{16}} \\ \end{array} }$

(3)

Σε ένα τετράπλευρο ΑBCD με διαγώνιες AC και BD και κέντρο το σημείο Ο, ισχύει πως:
BO=4, OD=6, AO=8, OC=3, AB=6. Τότε το μήκος της AD είναι:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} (A)9 \\ (B)10 \\ (C)6\sqrt 3 \\ (D)8\sqrt 2 \\ (E)\sqrt {166} \\ \end{array} }$

(4)

Τα σημεία D, E, F λαμβάνονται αντίστοιχα πάνω στις πλευρές ΑΒ,ΒC, CA ενός τριγώνου ΑBC έτσι ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{ \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{BE}}{{CE}} = \frac{{CF}}{{FA}} = \frac{1}{n} }$
Τότε ο λόγος του εμβαδού του τριγώνου DEF προς το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι ίσος με:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} (A)\frac{{n^2 - n + 1}}{{\left( {n + 1} \right)^2 }} \\ (B)\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)^2 }} \\ (C)\frac{{2n^3 }}{{\left( {n + 1} \right)^3 }} \\ (D)\frac{{n^3 }}{{\left( {n + 1} \right)^3 }} \\ (E)\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{n + 1}} \\ \end{array} }$

(5)

Σε ένα τραπέζιο ABCD (AB παράλληλη με CD) η γωνία D είναι διπλάσια απο τη γωνία B και έστω πως AD=α και CD=b αντιστοίχως.Τότε η ΑΒ ισούται με :

$\displaystyle{ \begin{array}{l} (A)\frac{1}{2}a + 2b \\ (B)\frac{3}{2}b + \frac{3}{4}a \\ (C)2a - b \\ (D)4b - \frac{1}{2}a \\ (E)a + b \\ \end{array} }$

Για τυχόν λάθη , ζητώ προκαταβολικά συγνώμη. Μια προσπάθεια κάνω κι ελπίζω να υπάρξουν και άλλες αντίστοιχες και πολύ καλύτερες απο αυτήν.

#2

Απάντηση στην (2)

Με Π.Θ στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC, βρίσκουμε ότι: BC=4

.

Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο ABC

για την διχοτόμο AA_1

, βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle CA_1=\frac{3}{2},BA_1=\frac{5}{2}$ .

Τότε: $\displaystyle PR=\frac{3}{2},QR_1=\frac{5}{2}$ και με Π.Θ στο ορθογώνιο τρίγωνο PRQ

,

βρίσκουμε ότι: QR=2

.

Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο PQR

για την διχοτόμο PP_1

, βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle RP_1=\frac{3}{4}$ .

Mε Π.Θ στο ορθογώνιο τρίγωνο PRP_1

,

βρίσκουμε ότι: $\displaystyle PP_1=\frac{3\sqrt{5}}{4}$ , δηλαδή, σωστό είναι το (Β).

#3

Απάντηση στο (4)

Από τη δοσμένη αναλογία προσθέτοντας στους παρονομαστές τους αριθμητές, βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle AD=\frac{1}{n+1}AB,BE=\frac{1}{n+1}BC,FC=\frac{1}{n+1}AC$ ,

οπότε και $\displaystyle AB=\frac{n}{n+1}AB,CE=\frac{n}{n+1}BC,AF=\frac{n}{n+1}AC$ .

Τότε:

τα τρίγωνα ABC, ADF έχουν τη γωνία Α κοινή, άρα $\displaystyle \frac{(ADF)}{(ABC)}=\frac{AD \cdot AC}{AB \cdot AC}=\frac{n}{(n+1)^2}$ ,

τα τρίγωνα ABC, BDE έχουν τη γωνία B κοινή, άρα $\displaystyle \frac{(BDE)}{(ABC)}=\frac{BD \cdot BE}{AB \cdot BC}=\frac{n}{(n+1)^2}$ και

τα τρίγωνα ABC, CFE έχουν τη γωνία C κοινή, άρα $\displaystyle \frac{(FCE)}{(ABC)}=\frac{FC \cdot CE}{AB \cdot BC}=\frac{n}{(n+1)^2}$ .

Επομένως:
$\displaystyle (FDE)=(ABC)-(ADF)-(BDE)-(FCE) \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow (FDE)=(ABC)-3\frac{n}{(n+1)^2}(ABC)=\frac{n^2-n+1}{(n+1)^2}(ABC)$

οπότε σωστό είναι το (Α).

#4

Απάντηση στο (5)

Φέρνουμε την DE//BC, οπότε το EBCD είναι παραλληλόγραμμο με ΕΒ=b και $\displaystyle \hat{B}=E\hat{D}C$ .

Αυτό σημαίνει ότι $\displaystyle A\hat{D}E=E\hat{D}C=\hat{B}$ και αφού $\displaystyle D\hat{E}A=\hat{B}$ ,

έχουμε ότι $\displaystyle D\hat{E}A=A\hat{D}E$ , δηλαδή, το τρίγωνο ADE είναι ισοσκελές με AD=AE=α.

Συνεπώς AB=a+b

, οπότε σωστό είναι το (Ε).

#5

Απάντηση στο (3).

Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΟ, έχουμε ότι:

$\displaystyle \sigma \upsilon \nu \left( A\hat{O} B\right)=\frac{AB^2-AO^2-BO^2}{2 \cdot AO \cdot BO}=-\frac{11}{16}$ .

Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑDΟ, έχουμε ότι:

$\displaystyle AD^2=AO^2+DO^2-2 \cdot AO \cdot DO \sigma \upsilon \nu \left( A\hat{O} D\right)=166$ .

Επομένως σωστό είναι το (Ε).

#6

Απάντηση στο (1)

Αφού για τις εγγεγραμένες γωνίες $\displaystyle B\hat{A}D,D\hat{A}C$ ,ισχύει $\displaystyle B\hat{A}D=D\hat{A}C$ (αφού AD διχοτόμος),

οι αντίστοιχες χορδές είναι ίσες, δηλαδή, BD=CD

.

Επίσης το τρίγωνο BOD

είναι ισοσκελές με BD=OD

, αφού $\displaystyle D\hat{B}O=B\hat{O}D=90^o-\frac{\hat{C}}{2}$ .

Συνεπώς BD=CD=OD

, οπότε σωστό είναι το (D).

#7

Να ευχαριστήσω θερμά το Λευτέρη για την ενασχόληση του με τις ασκήσεις, αλλά και για την επισήμανση του σχετικά με την άσκηση (3).
Φυσικά και δεν επρόκειτο για ορθογώνιο,αλλά για ένα τυχαίο τετράπλευρο.Tο διόρθωσα , άμεσα κιόλας!
Thanks!!

Πακέτο ερωτήσεων γεωμετρίας (1).

Πακέτο ερωτήσεων γεωμετρίας (1).

Re: Πακέτο ερωτήσεων γεωμετρίας (1).

Re: Πακέτο ερωτήσεων γεωμετρίας (1).

Re: Πακέτο ερωτήσεων γεωμετρίας (1).

Re: Πακέτο ερωτήσεων γεωμετρίας (1).

Re: Πακέτο ερωτήσεων γεωμετρίας (1).

Re: Πακέτο ερωτήσεων γεωμετρίας (1).

Μέλη σε σύνδεση