Πρόταση πάνω στις συναρτήσεις(1)

#1

Έστω $f: A\rightarrow B$ μια συνάρτηση με

μη κενό.
Να δείξετε ότι:
Η

είναι

αν και μόνον αν υπάρχει συνάρτηση $g: B\rightarrow A$ με $g\circ f(x)=x,x \in A.$

BAGGP93 · #2

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{g:B\to A}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{g\circ f(x)=x\,,\forall\,x\in A}$ .

Για κάθε $\displaystyle{x\,,y\in A}$ έχουμε

$\displaystyle{f(x)=f(y)\implies g(f(x))=g(f(y))\implies g\circ f(x)=g\circ f(y)\implies x=y}$ .

Άρα, η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ στο $\displaystyle{A}$ .

Απ' την άλλη, υποθέτουμε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ στο $\displaystyle{A}$ .

Ορίζεται ως συνάρτηση η $\displaystyle{f^{-1}:f(A)\to A}$ . Ορίζουμε συνάρτηση

$\displaystyle{g_{a}:B\to A}$ από τη σχέση $\displaystyle{g(x)=\begin{cases} f^{-1}(x)\,\,,x\in f(A)\\ \,\,\,\,\,\,\,\,a\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x\in B-f(A) \end{cases}}$

όπου $\displaystyle{a}$ ένα σημείο του $\displaystyle{A}$ .

Έτσι, αν $\displaystyle{x\in A}$ , τότε $\displaystyle{f(x)\in f(A)}$ και συνεπώς, $\displaystyle{g\circ f(x)=g(f(x))=f^{-1}(f(x))=x}$ .

Πρόταση πάνω στις συναρτήσεις(1)

Πρόταση πάνω στις συναρτήσεις(1)

Re: Πρόταση πάνω στις συναρτήσεις(1)

Μέλη σε σύνδεση