15 μοίρες σε ισοσκελές

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC~(AB=AC)

. Θεωρούμε σημείο

της

με $\widehat{BCD}=15^{o}$ .

Aν ισχύει $BC=AD\sqrt{6}$ , να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας $\hat{A}$ .

Ορέστης Λιγνός · #2

Καλημέρα κύριε Γιώργο!

Μια προσπάθεια, ελπίζω σωστή.

Έστω $AD=x,BC=x \sqrt{6}$ .

Από νόμο ημιτόνων στα DAC,BDC

είναι

$\displaystyle \frac{x \sqrt{6}}{\sin BDC} = \frac{DC}{\sin \phi} \Leftrightarrow \dfrac{DC}{x}=\frac{\sqrt{6} \sin \phi}{\sin(\phi+15)}$

$\displaystyle \frac{DC}{\sin A}=\frac{x}{\sin (\phi-15)} \Leftrightarrow \dfrac{DC}{x}= \dfrac{\sin 2\phi}{\sin (\phi-15)}$ .

Άρα, $\dfrac{\sqrt{6} \sin \phi}{\sin(\phi+15)}= \dfrac{\sin 2\phi}{\sin (\phi-15)}$ , και αυτή τελικά γράφεται

$\dfrac{\sin \phi \cdot \sin(\phi-15)}{\sin(2 \phi) \cdot \sin(\phi+15)}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ , και, λόγω μονοτονίας, $\phi=45$ .

Άρα, A=90^0

.

Γιώργος Απόκης · #3

#4

Γιώργος Απόκης έγραψε:Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο . Θεωρούμε σημείο της με $\widehat{BCD}=15^{o}$ .

Aν ισχύει $BC=AD\sqrt{6}$ , να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας $\hat{A}$ .

Καλησπέρα σας .

Μια άποψη ακόμη .

Αν θεωρήσουμε μονάδα μέτρησης το μήκος του

, τότε $BC = \sqrt 6$ .

Ας ξεκινήσουμε κατασκευαστικά.

Θεωρούμε τρίγωνο DBC

με $BC = \sqrt 6 \,\,,\,\,B = 45^\circ \,\,,\,\,C = 15^\circ$ . Επιλύοντας το τρίγωνο ( π.χ. με νόμο ημιτόνων ) βρίσκουμε:

$\boxed{DC = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB = \sqrt 3 - 1}$ .

: 15 μοίρες σε ισοσκελές_κατασκευή_λύση.png (19.36 KiB) Προβλήθηκε 1610 φορές

Φέρνουμε και τη μεσοκάθετη του

που την τέμνει στο

τις δε ευθείες $DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ στα A,E

αντίστοιχα.

Επειδή , $MC = EC \cdot \cos C$ θα έχουμε : $\dfrac{{\sqrt 6 }}{2} = EC\dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \boxed{EC = 3 - \sqrt 3 }$ και $\boxed{ED = \sqrt 3 - 1}$ .

Στο τρίγωνο DBC

με διατέμνουσα $\overline {AEM}$ από το Θεώρημα του Μενελάου , έχουμε: $\dfrac{{DA}}{{AB}} \cdot \dfrac{{BM}}{{MC}} \cdot \dfrac{{CE}}{{ED}} = 1$

Αν θέσουμε AD = x

η προηγούμενη οδηγεί στην εξίσωση : $\boxed{\frac{{\sqrt 3 - 1 + x}}{x} = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 1}} \Leftrightarrow x = 1}$

Τώρα προφανώς το τρίγωνο ABC

εκπληρώνει τις προδιαγραφές της άσκησης και είναι ισοσκελές ορθογώνιο στο

.

Φιλικά Νίκος

Γιώργος Απόκης · #5

Ευχαριστώ Νίκο!

Ιστοσελίδα · #6

Καλημέρα.

Γιώργος Απόκης · #7

Καλημέρα Μιχάλη. Ευχαριστώ, δεν το θυμόμουν

15 μοίρες σε ισοσκελές

15 μοίρες σε ισοσκελές

Re: 15 μοίρες σε ισοσκελές

Re: 15 μοίρες σε ισοσκελές

Re: 15 μοίρες σε ισοσκελές

Re: 15 μοίρες σε ισοσκελές

Re: 15 μοίρες σε ισοσκελές

Re: 15 μοίρες σε ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση