Σφαιρικό δοχείο

#1

Ρίχνουμε νερό με σταθερή ροή σε ένα σφαιρικό δοχείο. Να σχεδιαστεί το γράφημα του ύψους

της στάθμης του νερού ως προς τον χρόνο

.

Σημειώνω ότι εκ πρώτης όψεως είναι "δύσκολο" να σχεδιάσουμε το γράφημα, αφού βρούμε την σχέση μεταξύ

και

, όμως υπάρχει ένας απλός τρόπος να το πετύχουμε.

#2

Έστω ότι παίρνει χρόνο

για να γεμίσει η μισή σφαίρα. Για χρόνο

ως

αρχικά έχουμε γρήγορη αύξηση του ύψους και σταδιακά πιο αργή. Δηλαδή η συνάρτηση είναι κοίλη. Από

ως

πάει ανάποδα, δηλάδη είναι κυρτή. Στο t = T

έχουμε σημείο καμπής.

Μιχάλη, φαντάζομαι ήθελες να αποφύγουμε τον υπολογισμό του όγκου ως συνάρτηση του ύψους, σωστά;

Να προσθέσω ότι βγαίνει πως $\displaystyle V = \frac{\pi h^2}{3}(3r-h).$ Δηλαδή το

είναι ανάλογο του $\displaystyle h^2(3r-h).$ Δεν θα λύσουμε ως προς

αλλά θα σχεδιάσουμε πρώτα την f(h) = h^2(3r-h)

. Μετά θα κάνουμε ανάκλαση στην y=x

για να πάρουμε το γράφημα της αντίστροφης. Ασφαλώς θα σχεδιάζουμε μέχρι h=2r

αφού από εκεί και πέρα δεν μας ενδιαφέρει. Το αποτέλεσμα είναι ακριβώς το ίδιο όπως περιέγραψα στην πρώτη παράγραφο. Παίρνουμε επιπλέον ότι η παράγωγος στα t=0

και

τείνει στο άπειρο, κάτι που δεν βλέπω πως να το εξηγήσουμε χωρίς κάποιες πράξεις.

#3

Δημήτρη, δεν είχα κατά νου να αποφύγουμε τον όγκο.

Αυτό που ήθελα να δω, το κάνεις εδώ:

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 14, 2017 1:41 pm
Δεν θα λύσουμε ως προς αλλά θα σχεδιάσουμε πρώτα την . Μετά θα κάνουμε ανάκλαση στην για να πάρουμε το γράφημα της αντίστροφης. Ασφαλώς θα σχεδιάζουμε μέχρι αφού από εκεί και πέρα δεν μας ενδιαφέρει. Το αποτέλεσμα είναι ακριβώς το ίδιο όπως περιέγραψα στην πρώτη παράγραφο.

Συγκεκριμένα, επειδή η επίλυση της τριτοβάθμιας ως προς

δίνει "δύσκολη παράσταση", ήθελα ακριβώς να σχεδιάσουμε την ίδια την

(απλό) και από το γράφημά της να συμπεράνουμε εκείνο της $f^{-1}$ , ως άνω.

#4

Ωραία. Ας υπολογιστεί και ο όγκος τότε. (Ήδη έδωσα τον τύπο.) Υπάρχει και απόδειξη χωρίς ολοκληρώματα.

#5

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 14, 2017 5:35 pm
Ωραία. Ας υπολογιστεί και ο όγκος τότε. (Ήδη έδωσα τον τύπο.) Υπάρχει και απόδειξη χωρίς ολοκληρώματα.

Αν εννοείς με αρχή του Cavalieri, είναι κομψότατο. Το διδάσκω στην Ιστορία των Μαθηματικών, αλλά ας το αφήσω για να το ψάξουν όσοι επιθυμούν.

#6

Ναι Μιχάλη, ακριβώς αυτό είχα υπόψη μου.

Ας δώσω πρώτα την απάντηση με ολοκληρώματα. Αυτή είναι $\displaystyle \int_0^{h} \pi f(y)^2 \, \mathrm{d}y,$ όπου f(y)

η ακτίνα του κύκλου που σχηματίζεται όταν κόψουμε την σφαίρα σε ύψος

. Από Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι f(y)^2 = r^2 - (r-y)^2 = 2yr - y^2

. [Αυτό ισχύει για όλα τα

. Χρειάζεται όμως να ελέγξουμε ξεχωριστά τις περιπτώσεις $y \in [0,r]$ και $y \in [r,2r]$ .]

Άρα $\displaystyle V = \pi \int_0^r (2yr - y^2) \, \mathrm{d}y = \pi \left[ry^2 - \frac{y^3}{3}\right]_0^h = \frac{\pi h^2}{3}(3r - h)$

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 12, 2017 9:35 pm
Ρίχνουμε νερό με σταθερή ροή σε ένα σφαιρικό δοχείο. Να σχεδιαστεί το γράφημα του ύψους της στάθμης του νερού ως προς τον χρόνο .

Σημειώνω ότι εκ πρώτης όψεως είναι "δύσκολο" να σχεδιάσουμε το γράφημα, αφού βρούμε την σχέση μεταξύ και , όμως υπάρχει ένας απλός τρόπος να το πετύχουμε.

Μιχάλη, Δημήτρη και Γιώργο Μπαλόγλου, καλημέρα...

Ύστερα από τα ανωτέρω παραθέτω τα ακόλουθα σχήματα:

1ο Σχήμα: Όγκος σφαιρικού τμήματος με μία βάση:

: Γέμισμα σφαίρας 1.png (32.57 KiB) Προβλήθηκε 1359 φορές

Αν στον ανωτέρω τύπο εφαρμόσουμε τη σχέση:

$\displaystyle{r^2=h(2R-h) \ \ (1)}$

τότε καταλήγουμε στον τύπο:

$\displaystyle{V(h)=-\frac{1}{3}\pi h^3+\pi R h^2 \ \ (2)}$

2ο Σχήμα: Γράφημα $\displaystyle{(h, V(h))}$ του όγκου σε σχέση με το ύψος $\displaystyle{h}$

: Γέμισμα σφαίρας 2.png (15.47 KiB) Προβλήθηκε 1359 φορές

Χωρίς να μπορούμε να λύσουμε την (2) ως προς τη μεταβλητή $\displaystyle{V}$
προχωρούμε στο γράφημα της αντίστροφης συνάρτησης

$\displaystyle{h=h(V) \ \ (3)}$

με τη βοήθεια λογισμικού (συμμετρική ως προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας).

3ο Σχήμα: Γράφημα της (3)

: Γέμισα σφαίρας 3.png (14.7 KiB) Προβλήθηκε 1359 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε στον οριζόντιο άξονα τη μεταβολή του όγκου
με σταθερή αύξηση, πράγμα που σημαίνει ότι ο άξονας αυτός εκφράζει
και τη μεταβολή του χρόνου αφού η ροή του υγρού στη σφαίρα αυτή
είναι σταθερή.

Τέλος παραθέτω κι ένα σχήμα στο χώρο που δηλώνει όλο αυτό το
δρώμενο, φτιαγμένο να λειτουργεί κάτω από τα δεδομένα του
ωραίου αυτού προβλήματος.

4ο Σχήμα

: Γέμισμα σφαίρας 4.png (48.01 KiB) Προβλήθηκε 1359 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε στιγμιότυπο του γεμίσματος
αυτής της "σφαιρικής δεξαμενής" νερού.

Κώστας Δόρτσιος

#8

Κώστα, είσαι θησαυρός.

#9

Μιχάλη σ' ευχαριστώ πολύ! Να είσαι καλά.

Συνεχίζοντας τον προβληματισμό σχετικά με το "σφαιρικό δοχείο"
σκέφτομαι, πώς θα ήταν το όλο μας σκεπτικό, στην περίπτωση όπου η ροή του
γεμίσματος δεν ήταν σταθερή, αλλά είχε μια άλλη μορφή.

Για πράδειγμα αν η η ροή του γεμίσματος ήταν γενικά της μορφής:

$\displaystyle{V=V(t), t\in [0,t_o]}$

όπου $\displaystyle{t_o}$ ο συνολικός χρόνος γεμίσματος του δοχείου - σφαίρας
αυτής με ακτίνα $\displaystyle{R}$ .

Ψάχνω να βρώ μια τέτοια συνάρτηση, ώστε να προκύπτει ένα όμορφο σχήμα.

Κώστας Δόρτσιος

Σφαιρικό δοχείο

Σφαιρικό δοχείο

Re: Σφαιρικό δοχείο

Re: Σφαιρικό δοχείο

Re: Σφαιρικό δοχείο

Re: Σφαιρικό δοχείο

Re: Σφαιρικό δοχείο

Re: Σφαιρικό δοχείο

Re: Σφαιρικό δοχείο

Re: Σφαιρικό δοχείο

Μέλη σε σύνδεση