Τιμή σφαπτομένης

Tolaso J Kos · #1

Από τη μακρινή Ινδία ( εισαγωγικές εξετάσεις ) έρχεται το παρακάτω θέμα:

H τιμή της παράστασης $\displaystyle{\cot \left ( \sum_{n=1}^{23} \cot^{-1} \left ( 1 + \sum_{k=1}^{n} 2k \right ) \right )}$ είναι ίση με:

$\displaystyle{\begin{matrix} \left ( \alpha \right ) & \dfrac{23}{25} & \left ( \beta \right ) &\dfrac{25}{23} & \left ( \gamma \right ) & \dfrac{23}{24} & \left ( \delta \right ) & \dfrac{24}{23} \end{matrix}}$

Επιλέξατε τη σωστή απάντηση.
Δικαιολογήσατε την απάντησή σας .

#2

Επειδή

$\displaystyle{1+\sum_{k=1}^{n}2k=n^2+n+1}$

και $\displaystyle{\arccot (n^2+n+1)=\arccot n-\arccot (n+1),}$

το άθροισμα μέσα στη συνεφαπτομένη είναι τηλεσκοπικό και ισούται με $\displaystyle{\arccot 1-\arccot 24,}$ άρα η τιμή της παράστασης ισούται με

$\displaystyle{\cot (\arccot 1-\arccot 24)=\frac{1\cdot 24+1}{24-1}=\frac{25}{23}.}$

Τιμή σφαπτομένης

Τιμή σφαπτομένης

Re: Τιμή σφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση