Ελάχιστη τιμή ολοκληρώματος

#1

Αν f συνεχής συνάρτηση σε όλο το R και ισχύει:

$\displaystyle{ f(x - 1) + f(x + 1) \ge x + f(x) }$

για κάθε χ πραγματικό τότε να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του ολοκληρώματος:

$\displaystyle{ \int\limits_1^{2010} {f(x)dx} }$

#2

Προσθέτοντας τις ανισότητες $f(x - 1) + f(x + 1) \ge x + f(x)$ και $f(x) + f(x + 2) \ge x + 1 + f(x+1)$ βρίσκουμε $f(x-1) + f(x+2) \geqslant 2x + 1$ . Αρκεί τώρα να ολοκληρώσουμε στα διαστήματα $[2,5],[8,11],\cdots,[2006,2009]$ κτλ. Προσοχή στο ότι δεν ολοκληρώσουμε στα διαστήματα $[5,8],[11,14],\ldots$

Επειδή όμως μάλλον θα κάνω λάθος στις πράξεις, ιδού ένας άλλος τρόπος. Ισχυρίζομαι ότι $\displaystyle{\int_1^{2010} f(x) \;dx \geqslant \int_1^{2010} x \;dx = \frac{2010^2 - 1}{2}}$

Γιατί; Παρατηρώ ότι για την f(x) = x

έχουμε πάντα ισότητες. Υποψιάζομαι ότι αυτή η συνάρτηση δίνει το ελάχιστο. Θέτω λοιπόν g(x) = f(x) - x

η οποία δίνει $g(x-1) + g(x+1) \geqslant g(x)$ και όπως προηγουμένως $g(x-1) + g(x+2) \geqslant 0$ . Άρα ολοκληρώνοντας στο προηγούμενο διάστημα βρίσκουμε $\displaystyle{\int_1^{2010} g(x) \;dx \geqslant 0}$ και άρα $\displaystyle{\int_1^{2010} f(x) \;dx = \int_1^{2010} (g(x) + x) \;dx \geqslant \frac{2010^2 - 1}{2}}$

#3

Είναι η 7Δ5 ολοκλήρωμα σελίδα 234 εδώ

Ελάχιστη τιμή ολοκληρώματος

Ελάχιστη τιμή ολοκληρώματος

Re: Ελάχιστη τιμή ολοκληρώματος

Re: Ελάχιστη τιμή ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση