Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα

#1

Έστω Α, Β δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ο οποίος αποτελείται απο 24 ισοπίθανα
απλά ενδεχόμενα.

Αν ισχύει η σχέση

$\displaystyle{ P(B) = 9(P(A))^2 - 13P(A) + 5 }$

να βρείτε το πλήθος των ενδεχομένων Α.

aggelospap · #2

ΚΑΛΗΣΠΕΡΑ Ν(Α)=16?

#3

Καλησπέρα!
Ναι αλλά θα ήταν εύκολο να δούμε και τη λύση;
Επιπλέον δεν τελειώνει εκεί η άσκηση.

aggelospap · #4

ΦΙΛΕ ΧΡΗΣΤΟ ΜΟΥ ΑΡΕΣΟΥΝ ΠΑΝΤΑ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΟΥ,ΛΟΓΩ ΠΟΛΛΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΛΛΩΝ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΚΩΝ ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΩΝ ΔΕΝ ΕΧΩ ΑΣΧΟΛΕΙΘΕΙ ΝΑ ΜΑΘΩ ΝΑ ΓΡΑΦΩ ΜΕ LATEX ΤΩΡΑ ΤΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ ΘΑ ΑΣΧΟΛΗΘΩ.ΕΚΑΝΑ ΠΑΝΤΩΣ ΣΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΛΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΑ ΤΗΝ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΑ.ΚΑΛΟ ΑΠΟΓΕΥΜΑ

#5

Εντάξει Άγγελε.
Εδώ θα ήθελα να πω κάτι σχετικά με αυτό.
(Τα παρακάτω είναι αυστηρά προσωπικές εκτιμήσεις και απόψεις και όχι φυσικά όλης της κοινότητας)
Μια άσκηση μπαίνει στο φόρουμ, με απώτερο σκοπό τη λύση της, έστω και τα κυριότερα σημεία αυτής
αν κάποιοι φίλοι δεν έχουν τον απαραίτητο χρόνο.
Νομίζω πως έτσι πρέπει να είναι, με σκοπό το όφελος του ανθρώπου που θα επιλέξει να τη διαβάσει.
Τη μία οφελούμαι εγώ την άλλη ο χ, την επομένη ο ψ κ.ο.κ
Φανταστείτε σε κάθε άσκηση να απαντούσαμε όλοι μονολεκτικά (Π.χ εδώ να απαντούσα ξερά: π/8ln2).
Ποιό το όφελος;
Θα παρακαλούσα λοιπόν τους συγκάτοικους στο φόρουμ να προβαίνουν σε αναλυτικότερες λύσεις.
Ευχαριστώ.
Χαίρομαι Άγγελε που σου αρέσουν οι ασκήσεις! Για τη συγκεκριμένη επιμένω πως ο Άγγελος δεν έχει δώσει την τελειωτική απάντηση.
Ζητάει το πλήθος των ενδεχομένων που μπορούν να διαπράξουν τα δοθέντα και όχι το πλήθος στοιχείων του Α.

Math Rider · #6

Μια προσέγγιση
Αφού τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα έχουμε ότι
$\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = P(A) + 9[P(A)]^2 - 13P(A) + 5 = 9[P(A)]^2 - 12P(A) + 5 }$

Πρέπει όμως να είναι $\displaystyle{ 0 \le P(A \cup B) \le 1{\rm } \Leftrightarrow {\rm }\left\{ \begin{array}{l} 0 \le P(A \cup B) \\ \kappa \alpha \iota {\rm }P(A \cup B) \le 1 \\ \end{array} \right\} }$

● $\displaystyle{ 0 \le P(A \cup B){\rm } \Rightarrow {\rm }0 \le 9[P(A)]^2 - 12P(A) + 5{\rm } \Rightarrow 0 \le \left( {3P(A) - 2} \right)^2 + 1{\rm } }$ που αληθεύει για κάθε τιμή του $\displaystyle{ P(A) }$ (εννοείται $\displaystyle{ 0 \le P(A) \le 1 }$ )

● $\displaystyle{ P(A \cup B) \le 1{\rm } \Rightarrow {\rm }9[P(A)]^2 - 12P(A) + 5 \le 1{\rm } \Rightarrow {\rm }9[P(A)]^2 - 12P(A) + 4 \le 0{\rm } \Rightarrow }$
$\displaystyle{ \left( {3P(A) - 2} \right)^2 \le 0{\rm } \Rightarrow {\rm }3P(A) - 2 = 0{\rm } \Rightarrow {\rm }P(A) = \frac{2}{3} }$
Δηλαδή $\displaystyle{ 0 \le P(A \cup B) \le 1{\rm } \Leftrightarrow {\rm }P(A) = \frac{2}{3} }$
Επειδή ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας έχουμε ότι $\displaystyle{ P(A) = \frac{{N(A)}}{{N(\Omega )}} }$ $\displaystyle{ \Rightarrow }$ $\displaystyle{ N(A) = P(A) \cdot N(\Omega ) = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16 }$

Αν δεν μου διαφεύγει κάτι:
Το πλήθος των ενδεχομένων Α είναι ίσο με τους δυνατούς τρόπους που μπορούμε να επιλέξουμε τα 16 στοιχεία του από τα 24 στοιχεία του Ω (επειδή ο Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα ) δηλαδή $\displaystyle{ \left( \begin{array}{l} 24 \\ 16 \\ \end{array} \right) }$

#7

Οk Νίκο, ευχαριστώ για τη λύση.

Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα

Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα

Re: Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα

Re: Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα

Re: Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα

Re: Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα

Re: Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα

Re: Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα

Μέλη σε σύνδεση