Μιγαδικοί και Γεωμετρία.
Συντονιστής: chris_gatos
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Μιγαδικοί και Γεωμετρία.
Έστω τρεις μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει:
Να αποδείξετε ότι οι είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου στο μιγαδικό επίπεδο.
Να αποδείξετε ότι οι είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου στο μιγαδικό επίπεδο.
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Κυρ Φεβ 04, 2024 5:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση τίτλου (είχε ξεφύγει ένα γράμμα το οποίο και συμπληρώθηκε)
Λόγος: Διόρθωση τίτλου (είχε ξεφύγει ένα γράμμα το οποίο και συμπληρώθηκε)
Χρήστος Κυριαζής
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Ή κάτι δεν βλέπω ή υπάρχει λάθος. Αν πάρουμε , , , τότε η συνθήκη ικανοποιείται, αλλά το τρίγωνο που σχηματίζεται δεν είναι ισόπλευρο (γεωμετρικά).
EDIT: Η άσκηση ζητάει ισοσκελές!
EDIT: Η άσκηση ζητάει ισοσκελές!
τελευταία επεξεργασία από silouan σε Τρί Ιαν 30, 2024 10:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3345
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Ισοσκελες γράφει και όχι ισόπλευρο, αλλά και πάλι δεν ισχύει, θεωρώντας για παράδειγμα εκφυλισμενο Ισοσκελες τρίγωνο με μία κορυφή στο και δύο κορυφές στο
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5959
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Θεωρώ ότι η δεύτερη σχέση ενδεχομένως να είναι η
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15768
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Έχουμε οπότε και όμοια τα άλλα δύο. Άραchris_gatos έγραψε: ↑Δευ Ιαν 29, 2024 6:00 pmΈστω τρεις μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει:
Να αποδείξετε ότι οι είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου στο μιγαδικό επίπεδο.
.
Πολλαπλάσιάζοντας επί έχουμε
και άρα
Άρα και κυκλικά. Άρα (αν ισχύει το πρώτα αλλά όμοια για τα άλλα) η γωνία που σχηματίζουν τα είναι ίση με την γωνία που σχηματίζουν τα , όπως θέλαμε.
Σχόλιο: Μπορεί το τρίγωνο να είναι εκφυλισμένο.
Edit αργότερα: Το ενδιαφέρον είναι ότι στην θέση του στην μπορούμε να βάλουμε το ή το . Η απόδειξη δεν αλλάζει ουσιαστικά
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τρί Ιαν 30, 2024 11:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Μια λύση/σκέψη για το παραπάνω πρόβλημα. Δεν είμαι απόλυτα σίγουρος για την συνθήκη (*)!
Αρχικά, από την πρώτη συνθήκη καταλαβαίνουμε πως οι πρέπει να βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο,
οπότε μπορούμε να γράψουμε:
Η δεύτερη συνθήκη τώρα γράφεται:
Οπότε θα πρέπει:
Τώρα, αν , τότε εύκολα δείχνουμε πως:
Οπότε, η παραπάνω γράφεται:
Εξετάζουμε πλέον την περίπτωση κάποιος από τους παραπάνω τρείς παράγοντες να είναι μηδέν, για παράδειγμα αν:
Όμως, προφανώς είναι:
Για να είναι το τρίγωνο ισοσκελές με κορυφή, στην περίπτωση μας, το αρκεί να ισχύει:
(*)
Με βάση τις παραπάνω ανισότητες, λαμβάνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις για το :
, με να περιορίζεται πιθανώς στο .
Για παράδειγμα, όταν εύκολα προκύπτει πως το τρίγωνο θα είναι ισόπλευρο.
Αρχικά, από την πρώτη συνθήκη καταλαβαίνουμε πως οι πρέπει να βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο,
οπότε μπορούμε να γράψουμε:
Η δεύτερη συνθήκη τώρα γράφεται:
Οπότε θα πρέπει:
Τώρα, αν , τότε εύκολα δείχνουμε πως:
Οπότε, η παραπάνω γράφεται:
Εξετάζουμε πλέον την περίπτωση κάποιος από τους παραπάνω τρείς παράγοντες να είναι μηδέν, για παράδειγμα αν:
Όμως, προφανώς είναι:
Για να είναι το τρίγωνο ισοσκελές με κορυφή, στην περίπτωση μας, το αρκεί να ισχύει:
(*)
Με βάση τις παραπάνω ανισότητες, λαμβάνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις για το :
- :
- :
- :
- : θα πρέπει αναγκαστικά , που είναι άτοπο.
, με να περιορίζεται πιθανώς στο .
Για παράδειγμα, όταν εύκολα προκύπτει πως το τρίγωνο θα είναι ισόπλευρο.
Ντερέκης Γρηγόρης
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Καλησπέρα Σωτήρη. Γιώργο, Σιλουανέ!
Σας ευχαριστώ θερμά για την ανασχόληση. Από χτες κατάλαβα από μηνύματα φίλων πως υπάρχει σύγχυση με γνωστή άσκηση
στην οποία στο δεύτερο μέλος υπάρχει τρία και αναφέρεται σε ισόπλευρο τρίγωνο ενώ αυτή σε ισοσκελές.
Παράληψη μου είναι πως δεν ανέφερα πως δεν πιάνεται περίπτωση εκφυλισμένου τριγώνου.
Η λύση που διαθέτω αποδεικνύει πως μπορώ να βάλω στη θέση του δύο οποιονδήποτε αριθμό από το πλήν ένα έως και το τρια και να λάβω λύση.
Για το συγκεκριμένο βγαίνουν τρία τρίγωνα.
Αυτά με γωνίες , , .
Μόλις βρω χρόνο θα ανεβάσω μια λύση.
Καλό σας βράδυ και ευχαριστώ ξανά για το ενδιαφέρον!
Edit:
Όσο έγραφα ο Μιχάλης και ο Γρηγόρης έδωσαν τις σκέψεις τους. Τους ευχαριστώ πολύ και αυτούς.
Σας ευχαριστώ θερμά για την ανασχόληση. Από χτες κατάλαβα από μηνύματα φίλων πως υπάρχει σύγχυση με γνωστή άσκηση
στην οποία στο δεύτερο μέλος υπάρχει τρία και αναφέρεται σε ισόπλευρο τρίγωνο ενώ αυτή σε ισοσκελές.
Παράληψη μου είναι πως δεν ανέφερα πως δεν πιάνεται περίπτωση εκφυλισμένου τριγώνου.
Η λύση που διαθέτω αποδεικνύει πως μπορώ να βάλω στη θέση του δύο οποιονδήποτε αριθμό από το πλήν ένα έως και το τρια και να λάβω λύση.
Για το συγκεκριμένο βγαίνουν τρία τρίγωνα.
Αυτά με γωνίες , , .
Μόλις βρω χρόνο θα ανεβάσω μια λύση.
Καλό σας βράδυ και ευχαριστώ ξανά για το ενδιαφέρον!
Edit:
Όσο έγραφα ο Μιχάλης και ο Γρηγόρης έδωσαν τις σκέψεις τους. Τους ευχαριστώ πολύ και αυτούς.
Χρήστος Κυριαζής
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4456
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Μιχάλη εύγε. Πολύ ωραία λύση. "Πολυωνυμική".Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τρί Ιαν 30, 2024 10:53 pmΈχουμε οπότε και όμοια τα άλλα δύο. Άραchris_gatos έγραψε: ↑Δευ Ιαν 29, 2024 6:00 pmΈστω τρεις μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει:
Να αποδείξετε ότι οι είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου στο μιγαδικό επίπεδο.
.
Πολλαπλάσιάζοντας επί έχουμε
και άρα
Άρα και κυκλικά. Άρα (αν ισχύει το πρώτα αλλά όμοια για τα άλλα) η γωνία που σχηματίζουν τα είναι ίση με την γωνία που σχηματίζουν τα , όπως θέλαμε.
Σχόλιο: Μπορεί το τρίγωνο να είναι εκφυλισμένο.
Edit αργότερα: Το ενδιαφέρον είναι ότι στην θέση του στην μπορούμε να βάλουμε το ή το . Η απόδειξη δεν αλλάζει ουσιαστικά
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3345
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Βεβαίως η άσκηση ζητούσε να αποδείξουμε ότι αν ισχύει η σχέση το τρίγωνο είναι ισοσκελές, όχι το αντίστροφο -- πράγματι υπάρχει αφθονία ισοσκελών τριγώνων όπου η σχέση δεν ισχύει, πχ οπότε
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Καλημέρα.
Θέτω
Τότε:
(1) (μετά από διαίρεση της δοσμένης σχέσης με )
(2) (μετά από διαίρεση της σχέσης , από το ποστ του κυρίου Λάμπρου, με )
(3)
Από Vieta, τα ρίζες του πολυωνύμου .
To ρίζα, οπότε ή ή και παίρνουμε το ισοσκελές τρίγωνο με το επιχείρημα του κυρίου Λάμπρου για τις γωνίες (στο τέλος του αντίστοιχου ποστ).
Μάλιστα, μπορούμε να υπολογίσουμε τα συγκεκριμένα , αλλά αυτό δε ζητείται στην εκφώνηση.
Θέτω
Τότε:
(1) (μετά από διαίρεση της δοσμένης σχέσης με )
(2) (μετά από διαίρεση της σχέσης , από το ποστ του κυρίου Λάμπρου, με )
(3)
Από Vieta, τα ρίζες του πολυωνύμου .
To ρίζα, οπότε ή ή και παίρνουμε το ισοσκελές τρίγωνο με το επιχείρημα του κυρίου Λάμπρου για τις γωνίες (στο τέλος του αντίστοιχου ποστ).
Μάλιστα, μπορούμε να υπολογίσουμε τα συγκεκριμένα , αλλά αυτό δε ζητείται στην εκφώνηση.
Κώστας
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3345
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Αντί λύσης (που νόμιζα πως είχα) ... μου προέκυψε αντιπαράδειγμα:
Γενικότερα, αρχίζοντας με και επιλέγοντας με (μη ισοσκελές τρίγωνο), προκύπτει λόγω των η ισοδυναμία της προς τις και ... οπότε για προκύπτει (ή η αρνητική της) και (και δύο ακόμη πιθανώς αποδεκτές λύσεις που δεν έλεγξα) κλπ
Τι συμβαίνει; Έχω κάνει κάποιο λάθος κάπου; Επισυνάπτω τους υπολογισμούς του λογισμικού που επαληθεύουν το παράδειγμα μου (νομίζω)
Γενικότερα, αρχίζοντας με και επιλέγοντας με (μη ισοσκελές τρίγωνο), προκύπτει λόγω των η ισοδυναμία της προς τις και ... οπότε για προκύπτει (ή η αρνητική της) και (και δύο ακόμη πιθανώς αποδεκτές λύσεις που δεν έλεγξα) κλπ
Τι συμβαίνει; Έχω κάνει κάποιο λάθος κάπου; Επισυνάπτω τους υπολογισμούς του λογισμικού που επαληθεύουν το παράδειγμα μου (νομίζω)
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Δεν ξέρω αν προσθέτω κάτι στα παραπάνω αλλά μία λύση που έδωσα είναι η εξής:
Για
Πολλαπλασιάζοντας με και με δεδομένο ότι
Λύνοντας την τελευταία εξίσωση έχουμε
Για
Πολλαπλασιάζοντας με και με δεδομένο ότι
Λύνοντας την τελευταία εξίσωση έχουμε
- (κυβική ρίζα του -1) οπότε
και από την έχουμε:
Όμως και έτσι και
Ανάλογα με το πρόσημο θα είναι: ή
- ομοίως....
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3345
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Κανένα λάθος, απλώς το τρίγωνο είναι ισοσκελες στο Α αντί του Βgbaloglou έγραψε: ↑Τετ Ιαν 31, 2024 1:53 pmΑντί λύσης (που νόμιζα πως είχα) ... μου προέκυψε αντιπαράδειγμα:
Γενικότερα, αρχίζοντας με και επιλέγοντας με (μη ισοσκελές τρίγωνο), προκύπτει λόγω των η ισοδυναμία της προς τις και ... οπότε για προκύπτει (ή η αρνητική της) και (και δύο ακόμη πιθανώς αποδεκτές λύσεις που δεν έλεγξα) κλπ
Τι συμβαίνει; Έχω κάνει κάποιο λάθος κάπου; Επισυνάπτω τους υπολογισμούς του λογισμικού που επαληθεύουν το παράδειγμα μου (νομίζω)
three-cubes-and-a-double-product.png
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Χρήστο, όταν γράφεις τρία τρίγωνα, προφανώς, εννοείς τρία ως προς το μέτρο των γωνιών τους. Οι τριάδες των μιγαδικών είναι πολλές....chris_gatos έγραψε: ↑Τρί Ιαν 30, 2024 11:06 pm
Για το συγκεκριμένο βγαίνουν τρία τρίγωνα.
Αυτά με γωνίες , , .
με
Υπάρχουν κι άλλες...
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3345
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Η στρατηγική μου (#11) ήταν να περιοριστώ σε τρίγωνα με μία πλευρά παράλληλη προς τον άξονα των , καθώς ο πολλαπλασιασμός των επί τυχόντα μιγαδικό μέτρου αφ' ενός μεν διατηρεί την (πολλαπλασιάζοντας αμφότερα τα μέλη επί ), αφ' ετέρου δε αντιστοιχεί σε στροφή του τριγώνου (καλύπτοντας τελικά όλα τα τρίγωνα με την εν λόγω ιδιότητα). Έτσι άρχισα (#11) με ... και θα συνεχίσω εκείabgd έγραψε: ↑Τετ Ιαν 31, 2024 8:40 pmΧρήστο, όταν γράφεις τρία τρίγωνα, προφανώς, εννοείς τρία ως προς το μέτρο των γωνιών τους. Οι τριάδες των μιγαδικών είναι πολλές....chris_gatos έγραψε: ↑Τρί Ιαν 30, 2024 11:06 pm
Για το συγκεκριμένο βγαίνουν τρία τρίγωνα.
Αυτά με γωνίες , , .
με
Υπάρχουν κι άλλες...
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3345
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Δεν είναι αντιπαράδειγμα, όπως είπαμε (#13), απλώς τρίγωνο ισοσκελές στο A αντί του 'αναμενόμενου' B. Για να πάμε και στις άλλες λύσεις (με x\neq 0), έξι συνολικά της 8v^3-6v=\pm \sqrt{3}, και στα αντίστοιχα δώδεκα ισοσκελή τρίγωνα (με πρώτη την κορυφή του ισοσκελούς και με το A πάντα στα δεξιά):gbaloglou έγραψε: ↑ Αντί λύσης (που νόμιζα πως είχα) ... μου προέκυψε αντιπαράδειγμα:
Γενικότερα, αρχίζοντας με και επιλέγοντας με (μη ισοσκελές τρίγωνο), προκύπτει λόγω των η ισοδυναμία της προς τις και ... οπότε για προκύπτει (ή η αρνητική της) και (και δύο ακόμη πιθανώς αποδεκτές λύσεις που δεν έλεγξα) κλπ
Βεβαίως πολλά από τα παραπάνω ισοσκκελή τρίγωνα είναι ανακλάσεις αλλήλων. Συνεχίζουμε με τα ισοσκελή τρίγωνα κορυφής όπου προκύπτουν έξι (ουσιαστικά τρία) ισοσκελή τρίγωνα από τις έξι λύσεις της
Τα παραπάνω ισοσκελή τρίγωνα (τρία ουσιαστικά 'πλάγια' κορυφών και τρία ουσιαστικά 'ορθά' κορυφής ) είναι, πιστεύω, όλα τα επί του μοναδιαίου κύκλου τρίγωνα κορυφών που ικανοποιούν την με μία πλευρά παράλληλη προς τον άξονα των (πλευρά ισοσκελούς τριγώνου στις πρώτες τρεις περιπτώσεις, βάση ισοσκελούς τριγώνου στις τελευταίες τρεις περιπτώσεις).
[Όλα τα παραπάνω δεν αποτελούν καν απόδειξη της αρχικής πρότασης, ίσως επανέλθω επ' αυτού, προς το παρόν ας μείνουμε με την απόδειξη του Μιχάλη (#5) Η όλη εποπτεία μου του προβλήματος αυτού δεν είναι άριστη Σημειώνω ότι τα 'βασικά' κατ' εμέ ισοσκελή τρίγωνα δεν είναι τελικά έξι, αλλά τρία -- βλέπετε και συνημμένο, μπορεί και επ' αυτού να επανέλθω Όπως ήδη έγραψα (#15), από τις στροφές περί το κέντρο του μοναδιαίου κύκλου των τριών βασικών ισοσκελών τριγώνων προκύπτουν όλα τα εντός του μοναδιαίου κύκλου εγγεγραμμένα τρίγωνα που ικανοποιούν την δοθείσα μιγαδική ταυτότητα. Εμπειρικά και μόνον διαπιστώνω ότι αυτά τα τρία ισοσκελή τρίγωνα είναι ισοδύναμα προς τα τρίγωνα που αναφέρει ο Χρήστος (#7).]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Μιγαδικοί και Γεωμετρία.
Καλησπέρα!
Ευχαριστώ πολύ για την ενασχόληση όλων σας.
Ήταν μια άσκηση από παλιό τεύχος του mathematics magazine.
Καλή επερχόμενη εβδομάδα!
Ευχαριστώ πολύ για την ενασχόληση όλων σας.
Ήταν μια άσκηση από παλιό τεύχος του mathematics magazine.
Καλή επερχόμενη εβδομάδα!
Χρήστος Κυριαζής
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3345
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.
Χρήστο πως κατέληξες στα τρία τρίγωνα; Ναι, είναι αυτά στα οποία κατέληξα και εγώ, εμπειρικά όμως, χωρίς καν να έχω αποδείξει ότι είναι ισοσκελη. Αν γνωρίζω ότι ουσιαστικά υπάρχουν τρία ακριβώς τρίγωνα που ικανοποιούν την δοθείσα συνθήκη και ότι αυτά είναι ισοσκελη, τότε ναι, μπορώ να περιοριστώ στην περίπτωση - - ή διαπραγμάτευση μου εξηγεί πως - - και να καταλήξω στην συνθήκη και επίσης από νόμο συνημιτονων στο ισοσκελες βγάζω για την γωνία κορυφής , οπότε και εύκολα οι τρεις ρίζες της τριτοβάθμιας οδηγούν στις τρεις γωνίες κορυφής,chris_gatos έγραψε: ↑Τρί Ιαν 30, 2024 11:06 pmΚαλησπέρα Σωτήρη. Γιώργο, Σιλουανέ!
Σας ευχαριστώ θερμά για την ανασχόληση. Από χτες κατάλαβα από μηνύματα φίλων πως υπάρχει σύγχυση με γνωστή άσκηση
στην οποία στο δεύτερο μέλος υπάρχει τρία και αναφέρεται σε ισόπλευρο τρίγωνο ενώ αυτή σε ισοσκελές.
Παράληψη μου είναι πως δεν ανέφερα πως δεν πιάνεται περίπτωση εκφυλισμένου τριγώνου.
Η λύση που διαθέτω αποδεικνύει πως μπορώ να βάλω στη θέση του δύο οποιονδήποτε αριθμό από το πλήν ένα έως και το τρια και να λάβω λύση.
Για το συγκεκριμένο βγαίνουν τρία τρίγωνα.
Αυτά με γωνίες , , .
Nu
Μόλις βρω χρόνο θα ανεβάσω μια λύση.
Καλό σας βράδυ και ευχαριστώ ξανά για το ενδιαφέρον!
Edit:
Όσο έγραφα ο Μιχάλης και ο Γρηγόρης έδωσαν τις σκέψεις τους. Τους ευχαριστώ πολύ και αυτούς.
[Εντάξει, αν γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα είναι ισοσκελη, τότε, σύμφωνα και με τα παραπάνω, γνωρίζουμε ότι έχουμε τρεις δυνατότητες για την γωνία κορυφής του ισοσκελους αντιστοιχουσες στις τρεις ρίζες της τριτοβάθμιας. Αλλά, και πάλι, θα ήθελα να δω πως το αντιμετώπισες, Χρήστο.]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες