Απόδειξη ανισοτικής σχέσης

#1

Τη βάζω εδώ για την ποικιλία λύσεων που ενδεχομένως θα δοθούν.

Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{ |\frac{{\sin x}}{x}| \le \frac{{|\pi - x|}}{2},\forall x \in R^ * }$

#2

Το επαναφέρω γιατί μάλλον δεν το προσέξατε!

#3

Έχουμε τις περιπτώσεις:

(i) $|x|\geq 2$ ή $|\pi-x|\geq 2$

(ii) |x|<2

και $|\pi-x|< 2$

Έχουμε

(i) Από θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού παίρνουμε

$|\sin x|\leq |x|$ και $|\sin x| \leq |\pi-x|$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Άρα αν $|x|\geq 2$ , τότε $\displaystyle{|\sin x| \leq |\pi-x|\leq |\pi-x|\frac{|x|}{2}}$ ,

ενώ αν $|\pi-x|\geq 2$ , τότε $\displaystyle{|\sin x| \leq |x|\leq |x|\frac{|\pi-x|}{2}}$ .

(ii) Aπό τη διπλή ανισότητα παίρνουμε $\pi-2<x<2$ . Για τη συνάρτηση $f(x)=\frac{x(\pi-x)}{2}$ στο $[\pi-2,2]$ εύκολα βρίσκουμε

$f(x)\geq f(2)=f(\pi-2)=\pi-2>1$

(η γραφική παράσταση της

είναι κοίλη παραβολή).

Συνεπώς, $|\sin x|\leq 1<\pi-2\leq \frac{x(\pi-x)}{2}=\frac{|x(\pi-x)|}{2}$ για κάθε $x \in [\pi-2,2]$ .

Συνδυάζοντας τις (i) και (ii) συμπεραίνουμε ότι για κάθε πραγματικό

ισχύει $|\sin x|\leq \frac{|x(\pi-x)|}{2}$ .

Διαιρώντας με $|x|\ne 0$ παίρνουμε τη ζητούμενη.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

Nα δώσω τη λύση που έχω υπ'όψη για πολυφωνία...

Ισχύει:

$\displaystyle{ |\sin x| \le |x|,\forall x \in R }$

Θέτοντας όπου χ το π/2-χ:

$\displaystyle{ |\sin (\frac{\pi }{2} - x)| \le |\frac{\pi }{2} - x| \Leftrightarrow |2\cos x| \le |\pi - 2x| }$

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη:

$\displaystyle{ |2\sin x\cos x| \le |x| \cdot |\pi - 2x| \Leftrightarrow |\sin 2x| \le |2x|\frac{{|\pi - 2x|}}{2} }$

απ'όπου για χ διαφορετικό απο το μηδέν:

$\displaystyle{ |\frac{{\sin 2x}}{{2x}}| \le \frac{{|\pi - 2x|}}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{y = 2x} |\frac{{\sin y}}{y}| \le \frac{{|\pi - y|}}{2},y \ne 0 }$

Ευχαριστώ τον Αχιλλέα για την ενασχόληση...

Απόδειξη ανισοτικής σχέσης

Απόδειξη ανισοτικής σχέσης

Re: Απόδειξη ανισοτικής σχέσης

Re: Απόδειξη ανισοτικής σχέσης

Re: Απόδειξη ανισοτικής σχέσης

Μέλη σε σύνδεση