Γινόμενο συντελεστών διεύθυνσης

#1

Αν Ρ είναι κοινό σημείο των ελλείψεων:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} C_1 :\frac{{x^2 }}{{a^2 }} + \frac{{y^2 }}{{b^2 }} = 1 \\ C_2 :\frac{{x^2 }}{{b^2 }} + \frac{{y^2 }}{{a^2 }} = 1 \\ \end{array} }$

και λ1,λ2 είναι οι συντελεστές διευθύνσεως των εφαπτομένων των ελλείψεων στο Ρ, τότε
το γινόμενο λ1λ2 ισούται με:

α) -1 β) 1 γ) 2 δ)-1/2 ε) 0

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

kwstas12345 · #2

Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο εξισώσεις επιλύοντας πρός χ^2 η y^2 και αντικαθιστώντας σε μία από τις άλλες δύο....θα προκύψουν λύσεις ένα ζεύγος λύσεων είναι π.χ το σημείο: $P\left( \frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)$

οι εφαπτόμενες έχουν εξισώσεις:
για την $C_{1}:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{xx_{p}}{a^{2}}+\frac{yy_{p}}{b^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\frac{x}{a^{2}}+\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\frac{y}{b^{2}}=1$

έχει συντελεστή: $\lambda _{1}=-\frac{\frac{b}{a\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}{\frac{a}{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}$

για την: $C_{2}:\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{xx_{p}}{b^{2}}+\frac{yy_{p}}{a^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\frac{x}{b^{2}}+\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\frac{y}{a^{2}}=1$

έχει συντελεστή: $\lambda _{2}=-\frac{\frac{a}{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}{\frac{b}{a\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}=-\frac{a^{2}}{b^{2}}$
άρα: $\lambda _{1}\lambda _{2}=\left(-\frac{b^{2}}{a^{2}} \right)\left(-\frac{a^{2}}{b^{2}} \right)=1$

#3

Οκ Κώστα ευχαριστώ πολύ!

Υ.Γ Ευχαριστώ και τους δύο Γιώργηδες που ακολούθησαν σε απαντήσεις
ακριβώς απο κάτω!

#4

Μια πιο γεωμετρική προσέγγιση: οι δύο εφαπτόμενες είναι συμμετρικές αλλήλων ως προς την διαγώνιο y = x, άρα* το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης ισούται προς 1.

*Έστω (α, β), (γ, δ) και (β, α), (δ, γ) δύο ζεύγη σημείων επί δύο ευθειών συμμετρικών ως προς την διαγώνιο, τότε οι συντελεστές διεύθυνσης είναι (δ-β)/(γ-α) και (γ-α)/(δ-β).

Γιώργος Μπαλόγλου

GMANS · #5

ΔΗΜΟΔΙΕΥΣΗ Σ 20.pdf: (40.01 KiB) Μεταφορτώθηκε 66 φορές

GMANS · #6

ΔΗΜΟΔΙΕΥΣΗ Σ 20.pdf: (52.84 KiB) Μεταφορτώθηκε 70 φορές

Γινόμενο συντελεστών διεύθυνσης

Γινόμενο συντελεστών διεύθυνσης

Re: Γινόμενο συντελεστών διεύθυνσης

Re: Γινόμενο συντελεστών διεύθυνσης

Re: Γινόμενο συντελεστών διεύθυνσης

Re: Γινόμενο συντελεστών διεύθυνσης

Re: Γινόμενο συντελεστών διεύθυνσης

Μέλη σε σύνδεση