Συντελεστής πολυωνύμου

#1

kwstas12345

Mα αφορμή το θέμα του Χρήστου δίνω αυτό:Nα βρεθεί ο συντελεστής του χ^2 του πολυωνύμου: $R\left(x \right)=\left(1-x \right)\left(1+2x \right)\left(1-3x \right)...\left(1+14x \right)\left(1-15x \right)$

#2

Η ιδέα μου είναι η εξής: Έχουμε $a_{2}=\frac{R''(0)}{2}$ . Eίναι R(0)=1

. Παραγωγίζοντας λογαριθμικά βρίσκουμε

$\frac{R'(x)}{R(x)}=-\frac{1}{1-x}+\frac{2}{1+2x}-...-\frac{15}{1-15x}$ . Από εδώ βρίσκουμε R'(0)=-8

παραγωγίζουμε ξανά και βρίσκουμε

$\frac{R''(x)R(x)-(R'(x))^2}{R^2 (x)}=-\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{4}{(1+2x)^2}+...-\frac{15^2}{(1-15x)^2}$ . Άρα για x=0

έχουμε

$R''(0)-(-8)^2 =-(1+2^2+3^2 +4^2 +...+15^2)=-\frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6}$ άρα R''(0)=-1176

. Άρα $a_{2}=-588$

EDIT: Διόρθωση στις παραγωγίσεις.

kwstas12345 · #3

Βάζω τη λύση που έχω,σε HIDE:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

matha έγραψε: Υ.Γ. Ο kwstas σε πμ. μου είπε ότι το αποτέλεσμα είναι διαφορετικό. Που έχω λάθος;;;

Η παράγωγος του $\displaystyle{ - \frac{1}{(1-x)}}$ είναι $\displaystyle{ -\frac{1}{(1-x)^2}}$ και όχι $\displaystyle{\frac{1}{(1-x)^2}}$ . (Ομοίως και για το $\displaystyle{ - \frac{3}{(1-3x)}}$ κ.τ.λ.)

Άρα στο τέλος βρίσκεις $R{''}(0) = 64 - 2(1^2 + 2^2 + \cdots + 15^2) = -1176$ και άρα a_2 = -588

.

#5

#6

Ο συντελεστής του x^2

στο

ισούται με το συντελεστή του $x^{13}$ στο πολυώνυμο

$Q(x)=(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)\cdots (x-15)$

(αφού $R(x)=x^{15}Q(\frac{1}{x})$ ).

Οι ρίζες του Q(x)

είναι οι ακέραιοι $r_i=(-1)^{n+1}n$ ( $n=1,2,\dots,15$ )

Από τους τύπους του Vieta και του Newton ο συντελεστής του $x^{13}$ στο Q(x)

ισούται με

$\displaystyle{\sum_{1\leq i<j\leq 15}r_i r_j = \frac{(\sum_{k=1}^{15} r_k)^2 - \sum_{k=1}^{15}r_k^2}{2}=\frac{8^2-(1^2+2^2+3^2+\cdots +15^2)}{2}=\frac{8^2-\frac{15\cdot 16\cdot 31}{6}}{2}=-588}$

Φιλικά,

Αχιλλέας

#7

kwstas12345 έγραψε:Βάζω τη λύση που έχω,σε HIDE:

YΓ:μήπως κάπιο λάθος σε πράξη,ωστόσο λογαριθμίζετε ....????

Τι εννοείς;

kwstas12345 · #8

τίποτα λάθος μου...αφήστε το...

Συντελεστής πολυωνύμου

Συντελεστής πολυωνύμου

Re: Συντελεστής πολυωνύμου

Re: Συντελεστής πολυωνύμου

Re: Συντελεστής πολυωνύμου

Re: Συντελεστής πολυωνύμου

Re: Συντελεστής πολυωνύμου

Re: Συντελεστής πολυωνύμου

Re: Συντελεστής πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση