Εφαπτομενικό τετράγωνο

#1

Εμπνευσμένο από δύο προβλήματα που μας έστειλε πολύ πρόσφατα ο Χρήστος Κυριαζής (chris_gatos):

Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου που ορίζεται από τις κοινές εφαπτόμενες των $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ και $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

#2

Έστω y=λx+k, λ διαφορετικό απο το μηδέν (δύσκολο να φτιάξουν οι εφαπτομένες τετράγωνο με λ=0).

Ασχολούμαι πρωτίστως με την έλλειψη:

$\displaystyle{ \frac{{x^2 }}{{a^2 }} + \frac{{y^2 }}{{\beta ^2 }} = 1 }$

Απαιτώ το σύστημα της ευθείας και της έλλειψης να δίνει μια και μοναδική λύση.
Τότε:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \frac{{x^2 }}{{a^2 }} + \frac{{y^2 }}{{\beta ^2 }} = 1 \\ y = \lambda x + k \\ \end{array} }$
απ'όπου ισοδύναμα:

$\displaystyle{ \frac{{x^2 }}{{a^2 }} + \frac{{(\lambda x + k)^2 }}{{\beta ^2 }} = 1 \Leftrightarrow .....(a^2 \lambda ^2 + \beta ^2 )x^2 + 2a^2 \kappa \lambda x + a^2 \kappa ^2 - a^2 \beta ^2 = 0 }$

Για να έχει αυτή η δευτεροβάθμια μια λύση πρέπει και αρκεί:

$\displaystyle{ \Delta = 0 \Leftrightarrow ...\kappa ^2 = a^2 \lambda ^2 + \beta ^2 (1) }$

Όμοια σκεπτόμενος και για τη δεύτερη έλλειψη, λαμβάνω :

$\displaystyle{ \kappa ^2 = \beta ^2 \lambda ^2 + a^2 (2) }$

Τώρα απο τις (1) και (2) έχω:

$\displaystyle{ \alpha ^2 \lambda ^2 + \beta ^2 = \beta ^2 \lambda ^2 + a^2 \Leftrightarrow ...(a^2 - \beta ^2 )\lambda ^2 = \alpha ^2 - \beta ^2 \mathop \Leftrightarrow \limits^{a \ne \beta } \lambda ^2 = 1 \Leftrightarrow \lambda = \pm 1 }$

Κάτι που νομίζω ήταν αναμενόμενο.
Κάποιος που θα ήταν πιο μαγκιώρος απο εμένα (εγω ξέρω πως είμαι λύτης του ταλήρου, έτσι κι αλλιώς) θα μπορούσε να πεί ''λόγω της συμμετρίας του σχήματος...κτλ'' και να απαιτήσει λ=+ ή -1.

Τότε λοιπόν:

$\displaystyle{ \kappa ^2 = a^2 + \beta ^2 }$

και μπορούμε να βρούμε τα σημεία τομής των εφαπτομένων (σε συνάρτηση με το κ , βεβαίως βεβαίως...).

Ως δια μαγείας αυτά ανήκουν στους άξονες.

Αυτά είναι τα (κ,0), (-κ,0),(0,κ),(0,-κ).

Ε, τώρα το εμβαδόν του τετραγώνου με κορυφές τις παραπάνω είναι αρκούντως επιλέξιμο μέσα απο πακτωλό μεθόδων...
Εγω επιλέγω:

Αφού είναι τετράγωνο θα είναι και ρόμβος.
Αρα το εμβαδόν του ισούται με το μισό του γινομένου των διαγωνίων του οι οποίες εδω έχουν μήκος 2|κ| η καθεμιά!
Συνεπώς:

$\displaystyle{ E = \frac{1}{2}\delta _1 \delta _2 = \frac{1}{2}2|\kappa |2|\kappa | = 2\kappa ^2 = 2(a^2 + \beta ^2 ) }$
τετραγωνικές μονάδες.

ΚΑΛΗΜΕΡΑ everybody!

Εφαπτομενικό τετράγωνο

Εφαπτομενικό τετράγωνο

Re: Εφαπτομενικό τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση