Διανύσματα

kwstas12345 · #1

Έστω Ο το εσωτερικό σημείο του τριγώνου ΑΒΓ.Άν για τυχαίο σημείο Μ του επιπέπου (ΑΒΓ) ισχύει ότι:

$\kappa \vec{MA}+\lambda\vec{MB} +\nu \vec{M\Gamma }=\vec{MO},\kappa +\lambda +\nu =1$

τότε να αποδείξετε ότι: κ,λ,ν>0.

#2

#3

Mε τον ίδιο τρόπο καταλήγω όπως κι ο Σεραφείμ στο:
$\displaystyle{ k\overrightarrow {OA} + \lambda \overrightarrow {OB} + \nu \overrightarrow {O\Gamma } = \overrightarrow 0 }$

Με τον ίδιο τρόπο θα αποκλείσω την περίπτωση κ=0.

Στη συνέχεια δανείζομαι απο εδώ την απόδειξη του Κώστα Σερίφη για την πρόταση Καραθεοδωρή(Κώστα ευχαριστώ) και στο τέλος θα διαιρέσω με το εμβαδόν του τριγώνου OΒΓ (Αντί για Κ έχω το Ο).

Τότε:
$\displaystyle{ \overrightarrow {OA} = - \frac{\lambda }{k}\overrightarrow {OB} - \frac{\nu }{k}\overrightarrow {O\Gamma } }$

και

$\displaystyle{ \overrightarrow {OA} = - \frac{{(OA\Gamma )}}{{(OB\Gamma )}}\overrightarrow {OB} - \frac{{(OBA )}}{{(OB\Gamma )}}\overrightarrow {O\Gamma } }$

Τα διανύσματα ΟΒ και ΟΓ είναι γρ ανεξάρτητα αρα το διάνυσμα ΟΑ εκφράζεται μονοσήμαντα απο αυτά.Συνεπώς:

$\displaystyle{ \frac{\lambda }{k} = \frac{{(OA\Gamma )}}{{(OB\Gamma )}} = \alpha > 0 \wedge \frac{\nu }{k} = \frac{{(OB\Gamma )}}{{(OB\Gamma )}} = \beta > 0 \Rightarrow \lambda = k\alpha \wedge \nu = \beta k }$

Αρα:

$\displaystyle{\kappa + \lambda + \nu = 1 \Rightarrow \kappa + \kappa \alpha + \kappa \beta = 1 \Rightarrow \kappa (1 + \alpha + \beta ) = 1 \Rightarrow \kappa > 0}$ αφού $\displaystyle{1 + \alpha + \beta > 0}$ .

Ευκολα τώρα $\displaystyle{\lambda > 0,\nu > 0}$

S.E.Louridas · #4

Ας μού επιτραπεί μία άποψη :
Καταλήγοντας στην σχέση
$\kappa \overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} + \lambda \overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} + \nu \overrightarrow {{\rm O}\Gamma } = \overrightarrow 0 \;\left( * \right)\;\pi \alpha \iota \rho \nu o\upsilon \mu \varepsilon \;\left( {\kappa + \lambda + \nu } \right)\overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} + \kappa \overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} + \nu \overrightarrow {{\rm B}\Gamma } = \overrightarrow 0 \Rightarrow$
$\kappa \overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} + \nu \overrightarrow {{\rm B}\Gamma } = \overrightarrow {{\rm B}{\rm O}} \Rightarrow \kappa ,\nu > 0,$
καθότι το σημείο Ο είναι εσωτερικό σημείο της γωνίας <ΑΒΓ. Όμοια έχουμε και λ>0.
Στην σχέση (*) μπορούμε να καταλήξουμε και αν δούμε ότι:
$\overrightarrow {{\rm M}{\rm O}} = \left( {\kappa + \lambda + \nu } \right)\overrightarrow {{\rm M}{\rm O}} .$

S.E.Louridas

#5

Σωτήρη καλησπέρα.
Επειδή μελετώντας την άσκηση είχα φτάσει κι εγω στο σημείο στο οποίο έχεις φτάσει κι εσύ, αλλά αναρωτήθηκα:
''Πως θα βαθμολογηθεί ένας υποψήφιος ΑΣΕΠ αν ΔΕΝ αποδείξει αυτό που εσύ λες δεδομένο''.
Θέλω να πω με λίγα λόγια, αλλά το τραβάω λίγο, είναι προφανές πως αν το Ο είναι εσωτερικό σημείο της γωνίας τότε
κ,ν >0 ή θέλει και απόδειξη;

Ερώτημα προς όλους είναι αυτό...όποιος θέλει απαντά.

Ευχαριστώ.

S.E.Louridas · #6

Στο θέμα της διόρθωσης στο γνωστικό (πλήρους ανάπτυξης) γιά τους συναδέλφους δεν έχουμε απόλυτο στίγμα άν και πολλά ευρύτερα πράγματα θεωρούνται γνωστά.Σημασία έχει οτι ο υποψήφιος ,λόγω έλλειψης χρόνου,θά πρέπει να δώσει λύση σωστή αλλά και γρήγορη,αφού σε περιπτώσεις εξετάσεων παίζει ρόλο (δυστυχώς) και η σκοπιμότητα (χρόνος γάρ).
Στην συγκεκριμμένη περίπτωση (επίτρεψέ μου εδώ να χαρώ γιά τα μαθηματικά ανταναλαστικα σου πρός το θεώρημα του Καραθεοδωρή, με εντυπωσίασε) απλά θεώρησα το παραλληλόγραμμο με διαγώνιο την ΒΟ.

S.E.Louridas

#7

Σωτήρη είναι κάτι πασιφανές αλλά και..αφανές!

Δε γνωρίζω λεπτομέρειες της διόρθωσης ειλικρινά μα το συγκεκριμένο σημείο της άσκησης μου είχε καθήσει στο λαιμό ως πρός τη δικαιολόγηση!

Να'σαι καλά Σωτήρη...

Υ.Γ Όσον αφορά το χρόνο έχεις ΑΠΟΛΥΤΟ δίκιο. Εδω πραγματικά είναι...χρήμα!

S.E.Louridas · #8

Και κάτι που είναι θέμα ουσίας και ήθελα από καιρό να επισημάνω:
Η προσπάθεια σου αυτή Χρήστο είναι ανεκτίμητης αξίας γιά τους συναδέλφους ( και ειδικά πρός εκείνους που ζητούν υλικό γιά τις αντίστοιχες εξετάσεις τους) και πρέπει να συνεχιστεί ανελειπώς.

Σωτήρης

#9

Η πλάκα είναι πως αυτή η προσπάθεια άρχισε πολύ πριν διοριστώ , όταν κι εγω ήμουν υποψήφιος αυτών των ''εξετάσεων''. Δεν ξέρω αν αυτό κάτι λέει, αλλά το επισημαίνω.

Θα ήθελα πραγματικά να κάνω...παπάδες, αλλά προς το παρόν ο αξιότιμος Bertrand Russell αλλά και άλλοι μου βάζουν φρένο.

Θα επιστρέψω όμως δριμύτερος, σε πολύ λίγο...

Θέλω τη βοήθεια όλων των συναδέλφων, ο καθένας με τον τρόπο του φυσικά και όπως νομίζει.

Ευχαριστώ θερμά Σωτήρη!

Διανύσματα

Διανύσματα

Re: Διανύσματα

Re: Διανύσματα

Re: Διανύσματα

Re: Διανύσματα

Re: Διανύσματα

Re: Διανύσματα

Re: Διανύσματα

Re: Διανύσματα

Μέλη σε σύνδεση