Βρείτε το μήκος

#1

Βρείτε το μήκος της μπλε γραμμής στο σχήμα (οι ΡΑ, ΡΒ είναι εφαπτόμενες).

: tangents.png (60.76 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές

Μαυρογιάννης

mathxl · #2

εΊΝΑ
$\displaystyle{P{A^2} = P{K^2} - {R^2} \Rightarrow P{A^2} = 75 \Rightarrow PA = 5\sqrt 3 \Rightarrow PA + PB = 10\sqrt 3 }$
Παρατηρούμε ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΑΡ το τμήμα ΑΚ είναι το μισό της υποτείνουσας άρα η γωνία ΑΡΚ ισούται με 30 μοίρες οπότε η ΑΚΒείναι 120 μοίρες
Είναι $\displaystyle{{l_{}} = \frac{{5\pi {{120}^ \circ }}}{{{{180}^ \circ }}} = \frac{{10\pi }}{3}}$
Οπότε το ζητούμενο μήκος ισούται με
$\displaystyle{10\sqrt 3 + 10\pi - \frac{{10\pi }}{3} = 10\sqrt 3 + \frac{{20\pi }}{3}}$

ΥΓ:Όπου εννοώ το C

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #3

Μια γρηγορη αντιμετώπιση, ελπίζω να μην έχει πρόβλημα

Εχουμε $\displaystyle{PA^2 = \delta ^2 - R^2 = 100 - 25 = 75}$ οπότε $\displaystyle{PA = 5\sqrt 3 .}$
Επίσης $\displaystyle{PA = PB}$ . Ακόμα $\displaystyle{PC^2 = PA^2 + PB^2 \Rightarrow PC = 10}$
$\displaystyle{\eta \mu ACP = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A\mathop C\limits^\^ P = 60^0 }$
οπότε η γωνία ΑΟΒ=120 ,αρα το τόξο $\displaystyle{{\rm A}\Gamma {\rm B} = 240^0 }$
Επομένωςτο τόξο ΑΓΒ= $\displaystyle{\frac{{2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 240}}{{360}} = \frac{{20\pi }}{3}}$

Αρα το ζητούμενο μήκος είναι $\displaystyle{10\sqrt 3 }$ + $\displaystyle{\frac{{20\pi }}{3}}$

Με ενα λεπτό δεύτερος...

#4

Ωραίο θεματάκι!!

Η ακτίνα του κύκλου είναι 5 και ΡΚ=10. Άρα γων.ΑΚΡ=60, δηλαδή γων. ΑΚΒ=120μοίρες.
Επομένως το μήκος του μπλε τόξου είναι

$\displaystyle\frac{2}{3}{2\pi \cdot 5 }=\frac{20\pi}{3}.$

Τα εφαπτόμενα τμήματα έχουν μήκος $\sqrt{10^2 -5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}.$

Άρα τελικά, η μπλε γραμμή έχει μήκος

$\displaystyle{\frac{20\pi}{3}+10\sqrt{3}.}$

chris · #5

Πότε τα γράψατε τόσο γρήγορα?

Εγώ ήμουνα ακόμη στη δύναμη σημείου.Τόση εξοικείωση με το πληκτρολόγιο πια

#6

Γειά σας. Βάζω και την όχι αισθητά διαφορετική λύση μου μιας και την έχω γραμμένη. Το ζητούμενο μήκος είναι:
$R\left( \pi -2\varphi \right) +2s=R\left( 2\pi -2\varphi \right) +2R\tan \varphi =5\left( 2\pi -2\frac{\pi }{3}\right) +2\cdot 5\tan \frac{\pi }{3}=\allowbreak \frac{20}{3}\pi +10\sqrt{3}$

: tangentssol.png (19.52 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

Μαυρογιάννης

Βρείτε το μήκος

Βρείτε το μήκος

Re: Βρείτε το μήκος

Re: Βρείτε το μήκος

Re: Βρείτε το μήκος

Re: Βρείτε το μήκος

Re: Βρείτε το μήκος

Μέλη σε σύνδεση