Απόσταση έλλειψης και ευθείας.

#1

Βρείτε τη μικρότερη απόσταση μεταξύ της ευθείας x+y=4 και της έλλειψης

$\displaystyle{ \frac{{x^2 }}{4} + y^2 = 1 }$

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #2

Καλημέρα σε όλα τα μέλη του

Αν ε1 , ε2 οι εφαπτόμενες της έλλειψης που είναι παράλληλες στην ευθεία (ε) : x+y = 4 ,
τότε η ελάχιστη απόσταση που ζητάμε είναι η μια εκ των αποστάσεων
d(ε , ε1) , d(ε , ε2) ...
μετά από πράξεις οι ευθείες ε1 , ε2 έχουν εξισώσεις $y=-x\pm \sqrt{5}$
και μετά πάλι από πράξεις....
$d_{min}=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$
.............................
Μια γεωμετρική ερμνηνεία αυτού είναι η εξής :
Έστω Μ το σημείο που η $y=-x+ \sqrt{5}$ εφάπτεται με την έλλειψη .
Ισχυριζόμαστε ότι $d_{min}=d\left(M,(\epsilon ) \right)$
Έστω ότι την ιδιότητα αυτή την έχει κάποιο σημείο Ν της έλλεψης με συντελεστή διευθυνσης της εφαπτομένης της έλλειψης στο Ν διαφορετικό του αντίστοιχου στο Μ .Τότε
η παράλληλη ευθεία (η) από το Ν στην (ε) x+y = 4 αφού δεν είναι εφαπτόμενη της έλλειψης θα την επανατέμνει σε κάποιο Ν΄άρα θα υπάρχουν και σημεία της έλλειψης μεταξύ των (ε) , (η) , άτοπο διότι υποθέσαμε ότι το Ν είναι το πλησιέστερο , άρα το Μ είναι το πλησιέστερο .//

#3

chris_gatos έγραψε:Βρείτε τη μικρότερη απόσταση μεταξύ της ευθείας x+y=4 και της έλλειψης

$\displaystyle{ \frac{{x^2 }}{4} + y^2 = 1 }$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Αλήθεια υπάρχει κάτι ομορφότερο απο τη λύση με διαφορικό λογισμό;

Χρήστο πριν αρκετό καιρό απάντησες ένα ερώτημα μου* χρησιμοποιώντας μια μέθοδο που ο τέως συνάδελφος (και πάντοτε φίλος) Michel Helfgott και εγώ έχουμε εκτενώς συζητήσει σε αδημοσίευτο άρθρο μας. Με την ίδια περίπου μέθοδο μπορούμε να επιλύσουμε το παρόν πρόβλημα αποφεύγοντας την χρήση Διαφορικού Λογισμού: αναζητούμε εφαπτόμενη y=-x+k

της έλλειψης, παράλληλη προφανώς προς την x+y=4

, μέσω εύρεσης

τέτοιου ώστε η διακρίνουσα της $\frac{x^{2}}{4}+(-x+k)^{2}=1$ να είναι μηδέν, κλπ κλπ (Βρίσκω $k=\sqrt{5}$ , άρα η ζητούμενη απόσταση, ίση προς την απόσταση ανάμεσα στις x+y=4

και $x+y=\sqrt{5}$ , είναι $\frac{4-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ -- ίδια απάντηση με αυτήν του Γιάννη, βλέπω τώρα.)

*σκόπευα τότε και να παραθέσω λύση με Διαφορικό Λογισμό και να αναφερθώ στο αρθράκι μου με τον Michel αλλά αμέλησα

Γιώργος Μπαλόγλου

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #4

Μια άλλη προσέγγιση :
Έστω Μ(xo , yo) σημείο της έλλειψης με θετικές συντεταγμένες τότε από andreescu :
$\frac{x_{o}^{2}}{4}+\frac{y_{o}^{2}}{1}\geq \frac{\left(x_{o}+y_{o}^ \right)^{2}}{5}\Rightarrow x_{o}+y_{o}\leq \sqrt{5}$ .
$d\left(M,\left(\epsilon \right) \right)=\frac{\left|x_{o}+y_{o} -4\right|}{\sqrt{2}}=\frac{4-\left(x_{0}+y_{0} \right)}{\sqrt{2}}\geq \frac{4-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$
όπου η ισότητα ισχύει για το σημείο Μ που η εφαπτόμενη της έλλειψης είναι // στην x+y = 4.

#5

Κύριοι σας ευχαριστώ για τις προσεγγίσεις σας.

Γιώργο εξαιρετικά ενδιαφέρον το άρθρο σας και σας ευχαριστούμε!

Καλημέρα.

Απόσταση έλλειψης και ευθείας.

Απόσταση έλλειψης και ευθείας.

Re: Απόσταση έλλειψης και ευθείας.

Re: Απόσταση έλλειψης και ευθείας.

Re: Απόσταση έλλειψης και ευθείας.

Re: Απόσταση έλλειψης και ευθείας.

Μέλη σε σύνδεση