Μέγιστος όγκος κώνου

#1

Οι περισσότεροι θα επέλεγαν τη βοήθεια των εργαλείων του διαφορικού λογισμού για να επιλύσουν το παρακάτω πρόβλημα:

Ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα μήκους α περιστρέφεται γύρω απο μία απο τις κάθετες πλευρές του και παράγει έναν ορθό κυκλικό κώνο.
Να βρείτε το μέγιστο δυνατό όγκο αυτού του κώνου.

Οποιαδήποτε άλλη επίλυση φυσικά δεκτή.

kwstas12345 · #2

Ο όγκος του κώνου θα είναι:
H πλευρά c είναι η ακτίνα βάσης και το b το ύψος.Άρα:

$\dispalystyle V\left(b\right)=\frac{1}{3} \pi bc^{2}$

Όμως απο το Πυθαγόρειο θεωρημα λαμβάνουμε:

$\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}\Rightarrow c^{2}=a^{2}-b^{2}\Rightarrow bc^{2}=ba^{2}-b^{3}=f\left(b \right)$

H f ώς πολυωνυμική θα είναι παραγςγισιμη και συνεχής με πρώτη παράγωγο:

$\displaystyle f'\left(b \right)=a^{2}-3b^{2}$

Λύνοντας την: $\displaystyle f'\left(b \right)=0\Leftrightarrow b=+/-\frac{a}{\sqrt{3}}$

Aπό την μελέτη της μονοτονίας της f εύκοκα πως παρουσιάζει μέγιστο στη θέση $\displaystyle b_{0}=\frac{a}{\sqrt{3}}$

Άρα:

$\displaystyle f\left(b \right)\leq f\left(\frac{a}{\sqrt{3}} \right)=\frac{2a^{3}}{\sqrt{3}}$ \

Άρα:

$\displaystyle V\left(b\right)=\frac{1}{3} \pi bc^{2}=\frac{1}{3}\pif\left(b \right)\leq \pi\frac{a^{3}}{3\sqrt{3}}\Rightarrow V_{max}=\frac{\pi a^{3}}{3\sqrt{3}}$

Φιλικα,
Κώστας

Μέγιστος όγκος κώνου

Μέγιστος όγκος κώνου

Re: Μέγιστος όγκος κώνου

Μέλη σε σύνδεση