Ένα θέμα με ονοματεπώνυμο

#1

Κάποτε ήταν η διάσημη τσικουλάτα(με ονοματεπώνυμο).

Επιπλέον στην εξέταση του ΑΣΕΠ δείχνεται μία προτίμηση σε ιστορικά θέματα ή σε θέματα με ονοματεπώνυμο.

Το παρακάτω φέρει το όνομα του Euler.(διάσημη ισότητα σε τρίγωνο)

Αν Ο και Ι είναι τα κέντρα του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου κύκλου αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ

και R , r οι ακτίνες τους (αντίστοιχα) τότε να αποδείξετε πως:

$\displaystyle{ OI^2 = R(R - 2r) }$

Απο αποδείξεις κυκλοφορούν πολλές.

Ότι προαιρείσθε λοιπόν!

#2

Χρήστο καλημέρα.

Μία απλή απόδειξη που έρχεται από το παρελθόν ( Ta Van Li ), έχει δημοσιευτεί Εδώ.

Κώστας Βήττας.

#3

Κώστα καλημέρα κι ευχαριστώ!

Μιάς και περί X.Tαβανλή o λόγος (στην παραπομπή σου) να θυμίσω εγώ το διάσημο κινέζικο θεώρημα του Ta-van-li ----> εδώ

chris · #4

Καλησπέρα στο Χρήστο στον Κώστα και στο

Να βάλω μία στη συλλογή

??

Αν η

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο

τότε φέρουμε τη διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου που διέρχεται απο το

και τον τέμνει ξανά στο σημείο

.Ισχύει $OM\perp BC$ και φέρουμε $IK\perp MF$ .Απο το γενικευμένο Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

$OI^2=OM^2+IM^2-2OM\cdot MK{\color{red}(*) }$

Όμως:
$MI^2=MC^2=MB^2=MN\cdot MF=2R\cdot MN{\color{red}(**) }$
οπότε η ${\color{red}(*) }$ γίνεται:
$OI^2=R^2+2R\cdot MN-2R\cdot MK=R^2-2R(MK-MN)=R^2-2R\cdot KN=R^2-2R\cdot IL=R^2-2Rr=R(R-2r)$

: Θεώρημα Euler.png (50.91 KiB) Προβλήθηκε 1734 φορές

#5

chris_gatos έγραψε:Αν και είναι τα κέντρα του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου κύκλου αντίστοιχα ενός τριγώνου και οι ακτίνες τους (αντίστοιχα) τότε να αποδείξετε πως:

$\displaystyle{OI^2 = R(R - 2r)}$

με Αντιστροφή

: (OI)^2=R^2-2Rr,f.png (30.51 KiB) Προβλήθηκε 1465 φορές

Αντιστρέφουμε το σχήμα με :πόλο

και λόγο $\lambda=r^2$

η

αντιστρέφεται στον κύκλο $\displaystyle{(F,FD=\frac{r}{2}=x)}$

η

αντιστρέφεται στον κύκλο $\displaystyle{(G,x)}$

η

αντιστρέφεται στον κύκλο $\displaystyle{(H,x)}$

ο κύκλος (O,R)

αντιστρέφεται σε κύκλο που διέρχεται από τα A',B',C'

(αντίστροφα των A,B,C

) κι έχει ακτίνα $\displaystyle{x=\frac{r}{2}}$

Άρα : $\displaystyle{\frac{\frac{r}{2}}{R}=\frac{\lambda}{\Delta^{I}_{(O)}}\Rightarrow \frac{r}{2R}=\frac{r^2}{R^2-(OI)^2}\Rightarrow R^2-(OI)^2=2Rr\Rightarrow}$ $\displaystyle{\boxed{(OI)^2=R^2-2Rr}}$

Ιστοσελίδα · #6

Ισχύουν οι σχέσεις: $I\hat{A}O=\frac{|\hat{B}-\hat{C}|}{2} \; , \; IA=\dfrac{r}{\sin\frac{A}{2}} \; , \; r=(s-a)\tan\frac{A}{2} \; , \; \dfrac{b+c}{a}\sin\frac{A}{2}=\cos\frac{B-C}{2}$ και $a=2R\sin A .$

Στο τρίγωνο IAO

είναι:

$OI^2=OA^2+IA^2-2OA\cdot IA\cos\frac{B-C}{2} = R^2+\dfrac{r^2}{\sin^2\frac{A}{2}}-2R\dfrac{r}{\sin\frac{A}{2}}\cos\frac{B-C}{2} =$

$R^2+\dfrac{2Rr^2}{2R\sin^2\frac{A}{2}}-2Rr\dfrac{\cos\frac{B-C}{2}}{\sin\frac{A}{2}} = R^2-2Rr\left[\dfrac{\cos\frac{B-C}{2}}{\sin\frac{A}{2}}-\dfrac{r}{2R\sin^2\frac{A}{2}}\right] =$

$R^2-2Rr\left[\dfrac{b+c}{a}-1-\dfrac{(s-a)\tan\frac{A}{2}}{2R\sin^2\frac{A}{2}}+1\right] = R^2-2Rr\left[\dfrac{b+c-a}{a}-\dfrac{s-a}{2R\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}}+1\right] =$

$R^2-2Rr\left[\dfrac{2(s-a)}{a}-\dfrac{2(s-a)}{2R\sin A}+1\right] = R^2-2Rr\left[\dfrac{2(s-a)}{a}-\dfrac{2(s-a)}{a}+1\right] =$ R^2-2Rr .

KARKAR · #7

Κατά Σπ. Κανέλλο ...

#8

Φωτεινή έγραψε:
chris_gatos έγραψε:Αν και είναι τα κέντρα του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου κύκλου αντίστοιχα ενός τριγώνου και οι ακτίνες τους (αντίστοιχα) τότε να αποδείξετε πως:

$\displaystyle{OI^2 = R(R - 2r)}$
με Αντιστροφή

(OI)^2=R^2-2Rr,f.png
Αντιστρέφουμε το σχήμα με :πόλο και λόγο $\lambda=r^2$

η αντιστρέφεται στον κύκλο $\displaystyle{(F,FD=\frac{r}{2}=x)}$

η αντιστρέφεται στον κύκλο $\displaystyle{(G,x)}$

η αντιστρέφεται στον κύκλο $\displaystyle{(H,x)}$

ο κύκλος αντιστρέφεται σε κύκλο που διέρχεται από τα (αντίστροφα των ) κι έχει ακτίνα $\displaystyle{x=\frac{r}{2}}$

Άρα : $\displaystyle{\frac{\frac{r}{2}}{R}=\frac{\lambda}{\Delta^{I}_{(O)}}\Rightarrow \frac{r}{2R}=\frac{r^2}{R^2-(OI)^2}\Rightarrow R^2-(OI)^2=2Rr\Rightarrow}$ $\displaystyle{\boxed{(OI)^2=R^2-2Rr}}$

To ξανάγραψα .. μου αρέσουν πολύ οι λύσεις με Αντιστροφή .. κρύβουν μια γοητεία !!

Ένα θέμα με ονοματεπώνυμο

Ένα θέμα με ονοματεπώνυμο

Re: Ένα θέμα με ονοματεπώνυμο

Re: Ένα θέμα με ονοματεπώνυμο

Re: Ένα θέμα με ονοματεπώνυμο

Re: Ένα θέμα με ονοματεπώνυμο

Re: Ένα θέμα με ονοματεπώνυμο

Re: Ένα θέμα με ονοματεπώνυμο

Re: Ένα θέμα με ονοματεπώνυμο

Μέλη σε σύνδεση