ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

kalfokat
Δημοσιεύσεις: 88
Εγγραφή: Δευ Σεπ 20, 2010 6:32 pm

ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από kalfokat » Σάβ Δεκ 17, 2011 1:33 pm

Με αφορμή τα σχόλια που έκαναν οι συνάδελφοι για την διδακτική παρέμβαση που πραγματοποιήσαμε με τον κο Γιάννη Θωμαΐδη σε μια τάξη της Α' Λυκείου, βρέθηκα για πολλοστή φορά μπροστά στο ανοιχτό ερώτημα: "τι σημαίνει διδάσκω Μαθηματικά;"
Έχω γράψει, όσο το δυνατόν, συνοπτικά http://mathandliterature.blogspot.com/2011/12/blog-post_17.html,
τον όλον προβληματισμό μου για να τον καταθέσω στην κοινότητά σας, που είναι από τις πλέον αρμόδιες να δώσει τέτοιου είδους απαντήσεις.

Εύχομαι καλές γιορτές σε όλους.
Με εκτίμηση
Κατερίνα Καλφοπούλου


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5017
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από S.E.Louridas » Σάβ Δεκ 17, 2011 5:35 pm

Θα ήθελα επί τη ευκαιρία να μου επιτραπεί να δηλώσω κάποιες απο τις "αδυναμίες" μου.

1) Στο ερώτημα που θέτει η κα Κατερίνα, προσωπικά δεν έχω απαντήσει, καθοριστικά, ούτε στον εαυτό μου ακόμη.
Το σίγουρο είναι οτι μου αρέσει να τα διδάσκω, αλλά και να τα διδάσκομαι και μάλλιστα πολύ.

2) Επίσης δεν έχω απαντήσει ακόμη στο ερώτημα: Μαθηματικά για όλους;

3) Και δεν έχω απαντήσει «απόλυτα» στο ερώτημα: Πώς ελέγχουμε αν κάποιος έχει κατανοήσει σε βάθος μία Μαθηματική θεωρία; Και λέω «απόλυτα» αφού μέχρι τώρα ο ισχυρός τρόπος ελέγχου είναι μέσω της διαδικασίας για την επίλυση προβλημάτων, δηλαδή στους διαγωνισμούς επί των Μαθηματικών το κύριο βάρος πέφτει στην επίλυση προβλημάτων. Και λέω διαδικασία επίλυσης, ώστε μην μπει το αφελές ερώτημα: Μα όποιος δεν λύνει ολα τα δύσκολα προβλήματα δεν γνωρίζει Μαθηματικά; Είναι προφανές οτι υπάρχουν δύσκολα προβλήματα που ένας λύτης δεν μπορεί να τα λύσει, όσο χρόνο και να έχει και κάποιος άλλος το ίδιο πρόβλημα να το επιλύσει και επίσης γιά προβλήματα με μέγιστη δυσκολία (Διάσημες ικασίες ή άλυτα προβλήματα Fermat κ.τ.λ.) που μπορεί επί σειρά ετών να μείνουν άλυτα, γνωστά πράγματα. Γιά τούτο μιλάμε γιά είσοδο στην διαδικασία επίλυσης (ο τρόπος που εισερχόμεθα στην προσπάθεια) και όχι γιά πλήρη λύση. Και βέβαια κάποιος που δεν μπορεί να λύση προβλήματα σε συνεχή βάση δεν πείθει παρ' όλες τις φιλότιμες προσπάθειες του, αλλά κάποια τέτοια πράγματα αποτελούν οριακές περιπτώσεις.
Η δυνατότητα και η ευχέρεια να χρησιμοποιεί κάποιος την κατάλληλη στιγμή ένα θεώρημα σημαίνει ή όχι ότι έχει κατανοηθεί το θεώρημα καλύτερα από αυτόν, παρά από έναν άλλο λύτη που δεν μπορεί να το χρησιμοποιήσει;

Κ.τ.λ., κ.τ.λ. ……


S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
kalfokat
Δημοσιεύσεις: 88
Εγγραφή: Δευ Σεπ 20, 2010 6:32 pm

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από kalfokat » Κυρ Δεκ 18, 2011 9:05 am

Καλή σας μέρα κύριε Λουρίδα!

Χαίρομαι πολύ που απαντήσατε.
Δεν διαφέρουν πολύ οι απόψεις μας. Ούτε εγώ έχω σαφή απάντηση για την ερώτηση που έθεσα...
Υπάρχει κάποιος που έχει; Θεωρώ πως η σημαντικότερη διαφορά μας, σ' αυτά που γράψατε με αυτά που σκέφτομαι είναι η εξής: αυτό που εσείς αποκαλέσατε "αδυναμίες", εγώ θα το έλεγα "γόνιμο προβληματισμό"! :)

Σας εύχομαι, από καρδιάς, καλές γιορτές.
Με εκτίμηση
Κατερίνα Καλφοπούλου.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5017
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από S.E.Louridas » Κυρ Δεκ 18, 2011 9:22 am

Καλές γιορτές και σε σας Κα Καλφοπούλου και τους χαιρετισμούς μου στον Γιάννη Θωμαϊδη που τον εκτιμώ για το ήθος του, την επιστημοσίνη του και επειδή δεν κάθεται σε ένα γραφείο, αλλά συνεχώς κινήται προς την κατεύθυνση της προσπάθειας να διαμορφώνονται σωστά διδακτικά περιβάλλοντα γιά τα Μαθηματικά μας, δίνοντας πάντα φωνή στους συναδέλφους που καθημερινά μάχονται. Σημασία έχει ο πηγαιμός προς την Ιθάκη και όχι η ανυπαρξία ακόμη και... μονοπατιού, για να περπατηθεί.

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
bilstef
Δημοσιεύσεις: 1386
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:45 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι - Κομοτηνή
Επικοινωνία:

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από bilstef » Δευ Δεκ 19, 2011 4:51 pm

http://repository.edulll.gr/edulll/handle/10795/897
Ο Χαράλαμπος Σακονίδης αναπτύσσει τις σύγχρονες αντιλήψεις για τη διδασκαλία των μαθηματικών. Εξηγεί ότι οι διδακτικές προσεγγίσεις μετατοπίστηκαν τα τελευταία χρόνια από την απλή κατάκτηση συγκεκριμένων αριθμητικών και γεωμετρικών δεξιοτήτων από τους μαθητές, στην έμφαση σε διαδικασίες μάθησης, μέσα από την ανακάλυψη και, τέλος, στην εστίαση στην επίλυση προβλήματος. Στη συνέχεια υποστηρίζει ότι τα μαθηματικά αντιμετωπίζονται, ακόμη και σήμερα, σαν μια ουδέτερη γνώση, ασύνδετη με τις πολιτισμικές και κοινωνικές εμπειρίες των μαθητών. Έτσι το εκπαιδευτικό σύστημα αδυνατεί να αναγνωρίσει τις αποκλίνουσες, από τα τυπικά σχολικά μαθηματικά, εμπειρίες των μαθητών. Μόνο όταν το εκπαιδευτικό σύστημα αναγνωρίσει και επεξεργαστεί τη βιωματική σχέση των παιδιών με τα μαθηματικά, θα μπορέσει να δώσει ισότιμες ευκαιρίες για σχολική επιτυχία


Η ζωή είναι Ωραία,ας την χαρούμε.Εν οίδα ότι ουδέν οίδα!Γηράσκω αεί διδασκόμενος!
Η γη δεν μας ανήκει της ανήκουμε !
Βασίλης Στεφανίδης
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1552
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από STOPJOHN » Δευ Δεκ 19, 2011 6:12 pm

Καλησπέρα στα μέλη του mathematica και στη καλή συζήτηση για τη διδασκαλία των Μαθηματικών .Θα προσπαθήσω να απαντήσω και να προβληματίσω για τα ωραία ερωτήματα που τέθηκαν. Διδάσκω Μαθηματικά σημαίνει ότι μαθαίνω κάποιον να σκέπτεται με Μαθηματικό τρόπο και τώρα μπαίνει το ερώτημα τι είναι ο Μαθηματικός τροπος σκέψης και η κριτική σκέψη στα Μαθηματικά .Θα είμαι σύντομος για να μην κουράσω τα μέλη του marthematica . Kριτική σκέψη σημαίνει να μπορεί κάποιος να χρησιμοποιεί τους δρόμους των Μαθηματικών π.χ Μαθηματική επαγωγή κ.λ.π και μαθαίνω σημαίνει ανακαλύπτω με αυτενέργεια και άλλες φορές με μέθοδο. Εδώ δημιουργούνται πολλά ερωτήματα για το επίπεδο της μαθηματικής σκέψης . Αυτά για τώρα ...

Γιάννης Σταματογιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
kalfokat
Δημοσιεύσεις: 88
Εγγραφή: Δευ Σεπ 20, 2010 6:32 pm

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από kalfokat » Δευ Δεκ 19, 2011 6:40 pm

bilstef έγραψε:http://repository.edulll.gr/edulll/handle/10795/897
Ο Χαράλαμπος Σακονίδης αναπτύσσει τις σύγχρονες αντιλήψεις για τη διδασκαλία των μαθηματικών. Εξηγεί ότι οι


Καλησπέρα.

Τον Χαράλαμπο Σακονίδη τον μελετάω, μέσω των πρακτικών συνεδρίων κυρίως.
Ομολογώ κάποιες εμπειρικές έρευνες που διάβασα με έκαναν να "δω" τι βλέπουν οι μαθητές μας, όταν εμείς λέμε τα μαθηματικά μας.. Επαλήθευσα, μέσα στην τάξη μου, αρκετά ευρήματα που διάβασα στις έρευνες.
Είναι πρακτικά αδύνατον να μην επηρεαστεί ο τρόπος διδασκαλίας ενός καθηγητή που θα διαβάσει προσεκτικά κάποιες εμπειρικές έρευνες προσανατολισμένες σε θέματα κατανόησης των μαθητών και να μην αναπτύξει νέες μεθόδους ελέγχου της κατανόησης των παιδιών.

Στο πολύ ωραίο κείμενο του Σακονίδη που παραθέτεις Βασίλη, στη σελίδα 12, γράφει μια "πικρή" αλήθεια:
"Παρά το γεγονός ότι η έρευνα στο χώρο της μαθηματικής εκπαίδευσης γνώρισε τεράστια ανάπτυξη τα τελευταία 30 περίπου χρόνια, τα ευρήματα της δεν κατάφεραν να επηρεάσουν με άμεσο και αποτελεσματικό τρόπο τη διδακτική πράξη, η οποία παραμένει εγκλωβισμένη σε πρακτικές που έχουν αποδειχτεί αναποτελεσματικές και συχνά επιζήμιες."

Κι άλλες διάφορες αλήθειες αναφέρονται στο κείμενο που θα πρέπει να μας προβληματίζουν, όσο θα προσπαθούμε να απαντήσουμε στην ερώτηση "τι σημαίνει διδάσκω μαθηματικά"..
Ειδικά γι' αυτό το ερώτημα υπάρχει μια εξαιρετική - πλην άκρως θεωρητική - απάντηση στο κείμενο.

Καλό απόγευμα


Άβαταρ μέλους
Jeronymo Simonstone
Δημοσιεύσεις: 89
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 09, 2009 8:52 pm

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Jeronymo Simonstone » Παρ Δεκ 30, 2011 12:57 am

"τι σημαίνει διδάσκω μαθηματικά"



Να ρωτήξω κάτι με όλη την καλή πρόθεση.
τόσες γεννεές μαθηματικών, πως τα κατάφερναν και δίδασκαν άλλους μαθηματικούς,
χωρίς να έχουν την παραμικρή έγνοια για τις θεωρίες της μάθησης
και ούτε ρεύμα για τους διαδραστικούς πίνακες; :shock:

Χρόνια Πολλά!


\int_{f(x)}^{dx}ab+\frac{1}{k^2}\sum_{k=+\infty}^{1}\frac{1}{\pi^2}=\frac{9}{69}+F(b)- \underbrace{(-( -...-F(a)))}_{2n+1 \ fores}, \ \forall \mathbb{N}\in n
kalfokat
Δημοσιεύσεις: 88
Εγγραφή: Δευ Σεπ 20, 2010 6:32 pm

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από kalfokat » Παρ Δεκ 30, 2011 9:10 am

Καλημέρα, Χρόνια Πολλά, Καλή Χρονιά!!!

Με όλη την καλή μου πρόθεση επιτρέψτε μου να σας απαντήσω ότι η απάντηση που ζητάτε κρύβεται στην ερώτηση που εσείς κάνατε!! :)
Ιδού τι λέτε: "τόσες γεννεές μαθηματικών, πως τα κατάφερναν και δίδασκαν άλλους μαθηματικούς,.."
Αλλά ποιος μίλησε για την εκπαίδευση μαθηματικών από μαθηματικούς!
Αν κάποιος είναι μαθηματικός - με την έννοια που το εννοείτε - δεν χρειάζεται να τον εκπαιδεύσει κανείς...
Αυτοεκπαιδεύται μελετώντας τους προηγούμενους.
Το ερώτημα, εν προκειμένω, είναι: "τι εννοούμε όταν λέμε πως ένας δάσκαλος μαθαίνει μαθηματικά στους μαθητές του;"
Κι αυτό, αναμφιβόλως, είναι ένα ερώτημα που αποσχολεί γενιές και γενιές, αφότου έπαψε το "επάγγελμα" να είναι κλειστό και να αφορά μόνο εκείνους τους προνομιούχους που είχαν πρόσβαση στη γνώση.

Παρεμπιπτόντως, να πω ότι προσωπικά έχω συναντήσει πολλούς "δυνατούς λύτες" που δεν έχουν τη δυνατότητα να διαβάσουν και να ερμηνεύσουν σωστά το πλέον στοιχειώδες μη μαθηματικό κείμενο. :)
Για μένα όμως η σωστή ερμηνεία ενός κειμένου είναι καθαρά μαθηματική διαδικασία, είτε αυτό είναι μαθηματικό είτε όχι
Άρα το "τι σημαίνει 'διδάσκω μαθηματικά';" παραμένει ανοιχτό ερώτημα.. :)

Τις καλύτερες ευχές μου για το 2012.


Άβαταρ μέλους
Jeronymo Simonstone
Δημοσιεύσεις: 89
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 09, 2009 8:52 pm

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Jeronymo Simonstone » Δευ Ιαν 02, 2012 7:02 pm

Με όλη την καλή μου πρόθεση επιτρέψτε μου να σας απαντήσω ότι η απάντηση που ζητάτε κρύβεται στην ερώτηση που εσείς κάνατε!!



Απαντώντας με όλη την καλή μου πρόθεση επίσης, και συνοδεύοντας την απάντησή μου με τις θερμές μου ευχές για ένα ευτυχισμένο 2012,
να ανταπαντήσω ότι, με βάση αυτό που λέτε, η Διδακτική των Μαθηματικών χωρίζει την πρακτική της ανάλογα με το αν το κοινό αποτελείται από
(μελλοντικούς) μαθηματικούς ή όχι, κάτι που βρίσκω γαργαλιστικό :)


\int_{f(x)}^{dx}ab+\frac{1}{k^2}\sum_{k=+\infty}^{1}\frac{1}{\pi^2}=\frac{9}{69}+F(b)- \underbrace{(-( -...-F(a)))}_{2n+1 \ fores}, \ \forall \mathbb{N}\in n
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1552
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από STOPJOHN » Δευ Ιαν 02, 2012 8:11 pm

Καλησπέρα και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ ΜΕ ΑΙΣΙΟΔΟΞΙΑ ΚΑΙ ΥΓΕΙΑ
Κ. kalfokat θα συμφωνήσω στους καλούς προβληματισμούς σας ..ΑΛΛΑ και να υπάρχουν δυνατοί λύτες που να μην μπορούν να ερμηνεύσουν ένα στοιχειώδες μη Μαθηματικό κείμενο μου φαίνεται υπερβολικό ΠΟΣΟΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΑΡΑΓΕ ; Υπάρχουν σχετικές έρευνες που να αποδεικνύουν το επιχείρημα σας ; Είναι ένα μεγάλο και δύσκολο πρόβλημα τι σημαίνει Διδάσκω Μαθηματικά και για τον κάθε Δάσκαλο υπάρχει διαφορετική ερμηνεία . Οι μαθητές μας όταν φύγουνε από το σχολείο ,πιθανόν ,να μπορέσουν να απαντήσουν στο ερώτημα τι έμαθαν από τους δασκάλους τους στο σχολείο και πως διδάχθηκαν τα Μαθηματικά.

Φιλικά

Γιάννης Σταματογιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
kalfokat
Δημοσιεύσεις: 88
Εγγραφή: Δευ Σεπ 20, 2010 6:32 pm

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από kalfokat » Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Καλησπέρα! Καλή χρονιά με υγεία και δουλειά..

Κύριε Σταματογιάννη, με ρωτάτε: " Υπάρχουν σχετικές έρευνες που να αποδεικνύουν το επιχείρημα σας ;" !
Δεν είναι επιχείρημα, είναι μια απλή δήλωση, "έχω γνωρίσει δυνατούς λύτες που δεν αποδίδουν σωστά το νόημα σε ένα στοιχειώδες μη μαθηματικό κείμενο". Το να αρχίσω να λέω ονόματα για να σας αποδείξω ότι έχω γνωρίσει τέτοιους ανθρώπους δεν ταιριάζει στη φύση μου! :)
Όσο δε για το αν υπάρχουν έρευνες που να αποδεικνύουν πως υπάρχουν δυνατοί λύτες που δεν διαβάζουν σωστά ένα στοιχειώδες κείμενο, δεν το γνωρίζω.. Αλλά γιατί να έχουν γίνει τέτοιες έρευνες; Πιστεύετε εσείς πως έχει κάποιο ενδιαφέρον το θέμα;
Σίγουρα δεν είναι από τα ευκολότερα η απόδοση νοήματος σε κάποιο έστω και στοιχειώδες κείμενο.
[Κι αυτό δεν αφορά μόνο τους δυνατούς λύτες..]
Αν ήταν, θα συνεννοούμασταν με πολύ λιγότερα λόγια και θα είχατε καταλάβει τι έχω πει..
Διαφωνείτε;

Σε όλα τα άλλα που λέτε για τη διδασκαλία των μαθηματικών συμφωνώ..

Να είσαστε καλά και να έχετε μια καλή χρονιά.
Κατερίνα Καλφοπούλου


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5017
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από S.E.Louridas » Δευ Ιαν 02, 2012 11:50 pm

Ας μου επιτραπεί να έχω την άποψη, ότι δεν είναι δυνατόν ένας δυνατός λύτης να μην έχει ήδη ερμηνεύσει σε ερμηνευτικό βάθος ανυπολόγιστης ποιότητας και ακρίβειας τόσο το λεκτικό μέρος της εκάστοτε Μαθηματικής θεωρίας με την οποία έχει ασχοληθεί, όσο επίσης δεν είναι δυνατό να μην έχει ερμηνεύει στο ίδιο στυλ βάθους και ποιότητας τις εκφωνήσεις των προβλημάτων που λύνει.
Και ο πλουραλισμός στο Επιστημονικό αυτό γίγνεσθαι είναι τεράστιος.
Καλός και δυνατός λύτης κατ’ αρχήν σημαίνει κατανόηση των θεωριών που χρησιμοποιεί, ο τρόπος χρήσης των οποίων συνιστά πλέον αυτό που λέμε Μαθηματικό ταλέντο. Και βέβαια δυσκολεύομαι να θεωρήσω, για τον δυνατό λύτη, μεταφυσικές εκ των προτέρων προδιαγραφές.
Θα ήθελα να καταθέσω στο σημείο αυτό κάτι που μου ήρθε στο μυαλό και που είχε καταθέσει εδώ ο Σπύρος Καπελίδης και που ήταν άποψη του μεγάλου Μαθηματικού Lebesque και που περίπου (αλλά σαφώς) ήταν:
O Καλύτερος τρόπος να διδαχθεί κανείς Μαθηματικά είναι να παρακολουθεί τις ενέργειες ενός Μαθηματικού κατά την στιγμή επίλυσης μίας άσκησης.

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
kalfokat
Δημοσιεύσεις: 88
Εγγραφή: Δευ Σεπ 20, 2010 6:32 pm

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από kalfokat » Τρί Ιαν 03, 2012 12:34 am

S.E.Louridas έγραψε:Ας μου επιτραπεί να έχω την άποψη, ότι δεν είναι δυνατόν ένας δυνατός λύτης να μην έχει ήδη ερμηνεύσει σε ερμηνευτικό βάθος ανυπολόγιστης ποιότητας και ακρίβειας τόσο το λεκτικό μέρος της εκάστοτε Μαθηματικής θεωρίας με την οποία έχει ασχοληθεί, όσο επίσης δεν είναι δυνατό να μην έχει ερμηνεύει στο ίδιο στυλ βάθους και ποιότητας τις εκφωνήσεις των προβλημάτων που λύνει.
S.E.Louridas


Κύριε Λουρίδα συμφωνώ με την άποψη που εκφράζετε.
Αυτό ακριβώς που λέτε είναι που κάνει ακόμη πιο αξιοπερίεργο το ότι μεταξύ των δυνατών λυτών, υπάρχουν και κάποιοι που όταν διαβάζουν ένα ΜΗ μαθηματικό κείμενο οδηγούνται εύκολα σε παρερμηνείες.
Τελικά λέτε να είναι τόσο ενδιαφέρον ώστε να αποτελέσει ερευνητικό ερώτημα ; :)
Εντάξει, τώρα αστειεύμαι και το καταλάβατε φαντάζομαι.
Δεν καταλαβαίνω όμως γιατί θεωρήθηκε, εν γένει, τόσο απίθανο το γεγονός πως κάποιοι άνθρωποι που είναι δυνατοί λύτες -και πιθανόν χαρισματικοί στον τομέα αυτόν - δυσκολεύονται στην κατανόηση και στην απόδοση σωστού νοήματος σε ένα μη μαθηματικό κειμένο; Από την εμπειρία μας γνωρίζουμε ότι είναι κάτι που συμβαίνει..Και για να μην το παίρνετε ο καθένας εδώ μέσα επί προσωπικού να σας υπενθυμίσω απλώς πως ο Paul Erdos, για παράδειγμα, δεν μπορούσε να διαβάσει ούτε έναν απλό χάρτη! Αν και δεν θα ισχυριζόμουν ότι ο χάρτης μιας πόλης είναι μη μαθηματικό κείμενο, αλλά, εν πάση περιπτώσει, αυτό το παράδειγμα μου ήρθε στο μυαλό :) Ή μάλλον είναι ένα όνομα που μπορώ να αναφέρω ως παράδειγμα, χωρίς να υπάρξει πρόβλημα!

Καλή χρονιά

Κατερίνα Καλφοπούλου


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2320
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από gbaloglou » Τρί Ιαν 03, 2012 3:16 am

Jeronymo Simonstone έγραψε:
Με όλη την καλή μου πρόθεση επιτρέψτε μου να σας απαντήσω ότι η απάντηση που ζητάτε κρύβεται στην ερώτηση που εσείς κάνατε!!



Απαντώντας με όλη την καλή μου πρόθεση επίσης, και συνοδεύοντας την απάντησή μου με τις θερμές μου ευχές για ένα ευτυχισμένο 2012,
να ανταπαντήσω ότι, με βάση αυτό που λέτε, η Διδακτική των Μαθηματικών χωρίζει την πρακτική της ανάλογα με το αν το κοινό αποτελείται από
(μελλοντικούς) μαθηματικούς ή όχι, κάτι που βρίσκω γαργαλιστικό :)


Αμερικάνικο απόφθεγμα:

Those who cannot do, teach; and those who cannot teach, teach teachers.

Αυτοί που δεν μπορούν να κάνουν, διδάσκουν^ και αυτοί που δεν μπορούν να διδάξουν, διδάσκουν δασκάλους.

Ευτυχές, όσο γίνεται, το 2012!

Γιώργος Μπαλόγλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4124
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από nsmavrogiannis » Τρί Ιαν 03, 2012 4:07 am

ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;
Δύσκολο ερώτημα. Και "προγραμματικού" χαρακτήρα. Συνήθως ένα ερώτημα αυτού του είδους
α) ή είναι εμφανώς ρητορικό και τίθεται για να απαντηθεί ευθύς αμέσως από εκείνον που το θέτει.
β) 'η είναι συγκαλυμμένα ρητορικό και γυροφέρνει κάποια "γνήσια" εκδοχή. Ο ερωτών αμφισβητεί με κάποια διερευνητική επίφαση, αλλά εκ προοιμίου, την πληρότητα της απάντησης και είναι λίγο-πολύ προετοιμασμένος, να αντιπαρατάξει την "γνήσια" (δική του) εκδοχή.
γ) ή είναι διερευνητικό, επιδιώκεται η συζήτηση και η απάντηση δεν είναι προκαθορισμένη.
Καμία επιλογή δεν είναι εξ΄ορισμού κακή. Οι περιπτώσεις β) και γ) συναντώνται στον Πλάτωνα και τον Γαλιλαίο. Ωστόσο και η περίπτωση γ) δεν είναι ασυνήθιστη :ο "Ιππίας μείζων" του Πλάτωνα αποτελεί ένα παράδειγμα.

Θεωρώντας ότι το ερώτημα εμπίπτει στην περίπτωση γ) γράφω κάποιες αρχικές σκέψεις. Το ερώτημα δε μπορεί να τεθεί τόσο γενικά. Το επαναδιατυπώνω λοιπόν:
Τι σημαίνει εγώ ο x διδάσκω τα y Μαθηματικά στον z;
Βάζω και μία ακόμη παράμετρο: Σε ποια κομπανία θα γίνει η συζήτηση; Προσωπικά αρνούμαι οποιαδήποτε συζήτηση με αδαείς. Για να γίνει η όποια συζήτηση πρέπει οι συνομιλητές να ελέγχουν ένα επαρκές ποσόν Μαθηματικών (υιοθετώ την νόρμα του αείμνηστου Θεόδωρου Καζαντζή: Να μπορούν να λύνουν τα θέματα των Πανελληνίων Εξετάσεων) και να έχουν μία αξιόλογη επαγγελματική εμπειρία κοντολογής κάποιες ώρες πτήσεως. Μου φαίνεται αδιανόητο να γίνει οποιαδήποτε συζήτηση με ανθρώπους που δεν γνωρίζουν τα Μαθηματικά της εγκύκλιας Παιδείας και δεν έχουν διδάξει ικανό χρόνο. Η συνομιλία θα γίνει μεταξύ μαθηματικών. Οι άλλοι ας παραμείνουν ακουσματικοί. Την έξοχη αυτή διάκριση την οφείλουμε στους Πυθαγορείους. Το σημειώνω αυτό διότι βλέπω συχνά από πανεπιστημιακές έδρες, με εκπληκτικό θράσος, άτομα που δεν έχουν ασκήσει την Τέχνη μας και αγνοούν το περιεχόμενο της να έχουν άποψη για την άσκηση της.
Θεωρώντας ότι εδώ στο mathematica η παρέα είναι η κατάλληλη προχωρώ σε επεξηγήσεις
α) Ο κάθε ένας από εμάς έχει προσδώσει στην διδασκαλία του ορισμένα χαρακτηριστικά όπως κάνει ο κάθε τεχνίτης. Αποδίδει στην διδασκαλία ένα νόημα που δεν είναι κατ΄ανάγκην κοινό και πανανθρώπινο. Εδώ το πρώτο ενικό πρόσωπο έχει σημασία.
β) Οφείλουμε να πούμε για ποια Μαθηματικά μιλάμε. Τα Μαθηματικά δεν είναι ίδια σε όλους τους πολιτισμούς. Κάθε πολιτισμός είχε τα Μαθηματικά που χρειάζονταν ή του ταίριαζαν. Το ίδιο ισχύει και για τους υποπολιτισμούς (δεν το θέτω , για την ώρα, αξιολογικά το θέτω με την έννοια του subculture). Αλλιώς κάνουν Μαθηματικά οι μαθητές του δημοτικού της γειτονιάς μου και αλλιώς οι τσιγγανόπαιδες που συναντάω στην Λαϊκή. Θα περιορισθούμε στα Μαθηματικά του Δυτικού Πολιτισμού (όπως διαμορφώθηκαν από τους Αρχαίους Έλληνες, την Αναγέννηση και τον Διαφωτισμό) ή θα συμπεριλάβουμε και άλλες όψεις όπως τα Εθνομαθηματικά κ.α.;
γ) Η διδασκαλία δεν γίνεται ερήμην του κοινού. Πέρα από το όποιο αναλυτικό πρόγραμμα οι στόχοι και οι βλέψεις των μαθητών, το "συμβόλαιο" που συνάπτεται και τα αναμενόμενα "παραδοτέα" αποτελούν στοιχεία για τον ορισμό της διδασκαλίας. Εν τέλει η διδασκαλία κρίνεται από τα αποτελέσματα της. Αυτό ήταν γνωστό από παλιά. Οι διδάσκοντες επί αιώνες ήσαν προσηλωμένοι σε κάποιους στόχους, οι μαθητές προσπαθούσαν να τους πετύχουν και περίπου αυτό ήταν όλο. Το περίπου το βάζω για τον λόγο ότι η εκπαιδευτική διαδικασία είναι κοινωνική λειτουργία και κάποια κοινωνικά στρώματα συναντούν εμπόδια στην πρόσβαση των μορφωτικών αγαθών. Στο σημείο αυτό νομίζω ότι έχει δίκιο ο Jeronymo Simonstone: Η εκπαίδευση δούλεψε και χωρίς την διδακτική και όπου δεν δούλεψε το πρόβλημα ήταν αλλού.
Θέλω να σημειώσω ότι ένα διδακτικό συμβόλαιο θα κριθεί και με εξωτερικά κριτήρια. Ένας συνάδελφος φροντιστής θα έχει ανταποκριθεί στις υποχρεώσεις του συμβολαίου του αν οι μαθητές του πετύχουν μία (στατιστικά) σημαντική υψηλή βαθμολογία. Ένας καθηγητής που προπονεί μαθητές για αγωνιστικά Μαθηματικά έχει διδάξει και οι μαθητές του έχουν μάθει αυτό που περιλαμβάνει η σύμβαση αν η αγωνιστική τους συμπεριφορά είναι καλή. Εδώ έχει δίκιο ο Σωτήρης Λουρίδας: Ασφαλώς και τα παιδιά έχουν πετύχει την βέλτιστη κατανόηση των Μαθηματικών που έκαναν σε σχέση με τα συμφραζόμενα που υπήρχαν. Ενδέχεται να υπάρχουν σκοτεινά σημεία αλλά για ποιούς δεν υπάρχουν; Σε πόσους από μας δεν έχει τύχει να δούμε ότι κάποιο θέμα που θεωρούσαμε οικείο έχει όψεις που αγνοούμε;
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1552
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από STOPJOHN » Τρί Ιαν 03, 2012 10:10 am

Καλημέρα και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ
Πιστεύω ότι εξαιρέσεις είναι οι Μαθηματικοί που δεν μπορούν να ερμηνεύσουν τα απλά μη Μαθηματικά κείμενα . Οι έρευνες ασχολούνται με άλλα σοβαρά και δύσκολα προβλήματα ...και σίγουρα δεν είναι σωστό να πούμε ονόματα Μαθηματικών που δεν ερμηνεύουν σωστά τα κείμενα . Κυρίαρχη άποψη για τη διδασκαλεία των Μαθηματικών έχουνε οι ΜΆΧΙΜΟΙ Μαθηματικοί ,όπως εύστοχα ,παρατήρησε ο συνάδελφος ,Ν.Μαυρογιάννης.
Μπορεί ένας Μαθηματικός να έχει εμβαθύνει σε ένα γνωστικό αντικείμενο και να είναι άριστος δάσκαλος αλλά.........
Διδάσκω Μαθηματικά στον Γιάννη σημαίνει ότι γνωρίζω το Γιάννη.....

Φιλικά
Γιάννης Σταματογιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2444
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από s.kap » Τρί Ιαν 03, 2012 11:23 am

STOPJOHN έγραψε:Καλημέρα και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ
Πιστεύω ότι εξαιρέσεις είναι οι Μαθηματικοί που δεν μπορούν να ερμηνεύσουν τα απλά μη Μαθηματικά κείμενα . Οι έρευνες ασχολούνται με άλλα σοβαρά και δύσκολα προβλήματα ...και σίγουρα δεν είναι σωστό να πούμε ονόματα Μαθηματικών που δεν ερμηνεύουν σωστά τα κείμενα . Κυρίαρχη άποψη για τη διδασκαλεία των Μαθηματικών έχουνε οι ΜΆΧΙΜΟΙ Μαθηματικοί ,όπως εύστοχα ,παρατήρησε ο συνάδελφος ,Ν.Μαυρογιάννης.
Μπορεί ένας Μαθηματικός να έχει εμβαθύνει σε ένα γνωστικό αντικείμενο και να είναι άριστος δάσκαλος αλλά.........
Διδάσκω Μαθηματικά στον Γιάννη σημαίνει ότι γνωρίζω το Γιάννη.....

Φιλικά
Γιάννης Σταματογιάννης


Μετά από 35 χρόνια διδασκαλίας κατέληξα στο συμπέρασμα ότι για να διδάξω μαθηματικά στον οποιονδήποτε Γιάννη μου χρειάζονται τρία πράγματα:
α) Να γνωρίζω μαθηματικά β) Να γνωρίζω μαθηματικά και γ) Να γνωρίζω μαθηματικά

Ευτυχισμένο το καινούργιο έτος


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από chris_gatos » Τρί Ιαν 03, 2012 11:32 am

Καλημέρα και καλή χρονιά.
Επειδή διαβάζω τόσον καιρό και εδώ στο φόρουμ και σε άλλες σελίδες, όπου
μεταξύ τύρου και αχλαδιού φαίνεται να έχω παρανοήσει αυτό που έχω διαβάσει
αλλά αφήνονται και κάποιες αιχμές για την κακή μου πρόθεση.
Δεν έχω πρόβλημα με όλα αυτά, αρκεί να είχαν αληθή υπόσταση. Έτυχε να παρακολουθήσω
τη διάλεξη, έτυχε εκείνη τη στιγμή να μου δημιουργηθούν όλα αυτά τα ερωτήματα που εξέθεσα
και ευρισκόμενος στη Χάλκη, μακριά από τη βιβλιοθήκη μου δηλαδή, είχα ως μόνο όπλο
ενημέρωσης το διαδίκτυο.
Έτσι λοιπόν διαβάζοντας τη δημοσίευση του συναδέλφου,θυμήθηκα όλα αυτά που είχα επεξεργαστεί
έσπευσα να διαβάσω την παραπομπή του και..εκφράστηκα!
Αν αφήνω έστω και κάποια υπόνοια κακής πρόθεσης ζητώ συγνώμη.
Η αποψή μου είναι αυτή που κατέθεσα.
Συμφωνώ ως προς το κομμάτι της έρευνας, διαφωνώ ως προς την υιοθέτηση στάσης διδασκαλίας.
Νομίζω πως έχω όλο το δικαίωμα γι'αυτό.
Δηλώνω λοιπόν απερίφραστα πως και έχω την κρίση αλλά και την ικανότητα να διαβάζω κείμενα
και να καταλαβαίνω τα μέγιστα δυνατά.
Αν τώρα αυτό που διαβάζω έχει άλλη σημασία από αυτήν που θέλει να δώσει ο συγγραφέας, ε νομίζω
πως δε βαρύνει εμένα το συγκεκριμένο γεγονός.
Βαρύνει τον ίδιο το συγγραφέα, αλλά και αυτόν που επιλέγει να δημοσιεύσει.
Κοντολογίς πρέπει πρώτα πριν δημοσιεύσουμε κάτι, να ελέγχουμε.Δε φταίει ο αναγνώστης αν αυτό
που διαβάζει είναι ''στα σκαριά'' ή το επίσημο κείμενο,
Όντως διαβάζοντας τα πρακτικά του συνεδρίου, απέκτησα διαφορετική εικόνα.
Αυτά για να ξεκαθαρίσω κι εγώ τη θέση μου.
Τώρα όσον αφορά τι σημαίνει για εμένα ''διδάσκω μαθηματικά'';
Σημαίνει πάνω απ'όλα και πρώτα απ'όλα μεράκι. Τοτε ίσως και να κερδίσεις το κοινό σου. (ή κάποιους από αυτούς)
Τώρα αν εγκληματίσεις διδακτικά και λοξοδρομήσεις από τη στοχοθεσία του Bloom, ε νομίζω πως είναι μικρό το κακό.
Γι'αυτό το θέμα κρίνω εξαιρετικά αναρμόδιο τον εαυτό μου, αφού και η διδακτική μου εμπειρία
στο δημόσιο σχολείο είναι μικρή αλλά και ότι έχω κάνει μέχρι στιγμής είναι σε μικρό ακροατήριο.
Έχω όμως κάθε δικαίωμα να εκφράζω ελεύθερα τη γνώμη μου, γι'αυτά που διαβάζω ή μου παρέχονται προς διάβασμα.
Χρόνια Πολλά!
Χ.Κ


Χρήστος Κυριαζής
kalfokat
Δημοσιεύσεις: 88
Εγγραφή: Δευ Σεπ 20, 2010 6:32 pm

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από kalfokat » Τρί Ιαν 03, 2012 11:39 am

Καλημέρα κύριε Μαυρογιάννη και καλή χρονιά!
Είπατε ακριβώς τη φράση που περίμενα να ακούσω:
nsmavrogiannis έγραψε:Τι σημαίνει εγώ ο x διδάσκω τα y Μαθηματικά στον z;
Μαυρογιάννης

Θεωρώ πως δεν είναι και τόσο διαδεδομένη αυτή η θέση στον χώρο ή έστω δεν είναι όσο θα έπρεπε να είναι. Επικρατεί η άποψη πως ο τομέας των μαθηματικών είναι ο κατ’ εξοχήν κυριολεκτικός, αποσωματοποιημένος και αντικειμενικός τομέας του επιστητού, όπως γράφουν οι Lakoff & Johnson στο βιβλίο τους "Μεταφορικός λόγος", η καθαρά πλατωνική άποψη δηλαδή που συνειδητά ή ασύνειδα επηρεάζει τις διδακτικές πρακτικές..

Θα μου επιτρέψετε, έχοντας εικοσαετή εμπειρία στον φροντιστηρικό χώρο (με Δέσμες και Κατευθύνσεις) και μόνο πενταετή εμπειρία σε Λύκειο, (ΑΣΕΠ 2007), με κατευθύνσεις και συμμετοχή σε Βαθμολογικό, να συμπληρώσω κάτι που νομίζω δεν γίνεται άμεσα κατανοητό στη φράση κλειδί που γράψατε. Πού πιστεύετε ότι παίρνει τιμές το χ; Αν θεωρείτε ότι παίρνει τιμές σε ένα σύνολο διακριτών, πλην σταθερών, δασκάλων, θα μου επιτρέψετε να διευρύνω το πεδίο ορισμού του. :), ορίζοντας τον κάθε διακριτό δάσκαλο μια μεταβλητή αφ' εαυτού της, επειδή αν εγώ ο χ των τριάντα, εγώ ο χ των σαράντα, εγώ ο χ των πενήντα, είμαι ένας και αυτός, τότε έχω αποτύχει παταγωδώς!
Είμαι σίγουρη πως συμφωνείτε με αυτό, όπως και κάθε άνθρωπος που αντιλαμβάνεται πόσο σημαντική είναι η εξέλιξη, καθώς και η αναθεώρηση που η εξέλιξη επιβάλλει.
Υπ' αυτήν την έννοια το ερώτημα Τι σημαίνει εγώ ο x διδάσκω τα y Μαθηματικά στον z; είναι ένα ερώτημα που ο κάθε δάσκαλος που σέβεται τους μαθητές του και τον εαυτό του πρέπει να υποβάλει συχνά στον εαυτό του, τόσο συχνά όσο συχνά μεταβάλλονται οι συνθήκες και οι απαιτήσεις της διδασκαλίας, αλλά κι αυτός ο ίδιος.
Για τα πεδία ορισμού των y και z, δεν θα κάνω θέμα, γιατί θα ξεφύγουμε...

Τελικά φαίνεται το ερώτημα που έθεσα αρχικά ήταν τύπου α, σύμφωνα με τη διάκριση που κάνατε.
Χαίρομαι που την απάντηση την έδωσε ένας άνθρωπος σαν κι εσάς, που χαίρει αποδοχής στον χώρο και ελπίζω να διαβάσουν την απάντησή σας όλοι οι συνάδελφοι του mathematica.gr :)

Και πάλι Καλή Χρονιά!
Κατερίνα Καλφοπούλου



Επιστροφή σε “Διδακτική των Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης