Γνωστή πρόταση
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13354
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Γνωστή πρόταση
Ας συγκεντρώσουμε εδώ, όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε για να αποδείξουμε τη γνωστή πρόταση:
Η διχοτόμος τριγώνου κείται μεταξύ του ύψους και της διαμέσου που άγονται από την ίδια κορυφή.
Η διχοτόμος τριγώνου κείται μεταξύ του ύψους και της διαμέσου που άγονται από την ίδια κορυφή.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15785
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Γνωστή πρόταση
Ας κάνω την αρχή. Για ευκολία ας θεωρούμε χωρίς βλάβη ότι και άρα .george visvikis έγραψε: ↑Δευ Μαρ 30, 2020 4:31 pmΑς συγκεντρώσουμε εδώ, όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε για να αποδείξουμε τη γνωστή πρόταση:
Η διχοτόμος τριγώνου κείται μεταξύ του ύψους και της διαμέσου που άγονται από την ίδια κορυφή.
Έχουμε . Άρα η διχοτόμος είναι "δεξιά" του ύψους.
Επίσης , άρα το είναι "αριστερά" του .
- Συνημμένα
-
- ips-dih-diam.png (6.13 KiB) Προβλήθηκε 1814 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 3603
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Γνωστή πρόταση
Η πρόταση είναι της Απολύτου Γεωμετρίας.
(δεν χρειάζεται το αξίωμα των παραλλήλων)
Οτι θα χρησιμοποιήσω βρίσκεται στο σχολικό βιβλίο και οι
αποδείξεις εκεί δεν χρησιμοποιούν το αξίωμα των παραλλήλων.
Στο σχήμα του Μιχάλη (αν και δεν χρειάζεται σχήμα)
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι
Στην περίπτωση που είναι ίσες και τα τρία συμπίπτουν.
Εχουμε το ύψος ,διχοτόμος,διάμεσος.
Θεωρούμε ότι
Αυτό που θέλουμε να δείξουμε είναι στην ουσία ότι:
Για το πρώτο
Παίρνω το συμμετρικό του ως προς το ,έστω .
Είναι
Απο γνωστή πρόταση το βρίσκεται μεταξύ των και .
Ετσι
Για το δεύτερο.
Παίρνω το συμμετρικό του ως προς το έστω
Τα τρίγωνα είναι ίσα.
Ετσι
και
Επειδή από γνωστή πρόταση είναι
Αν τότε η απόδειξη για την διάμεσο παραμένει η ίδια
ενώ για το ύψος είναι σχεδόν τετριμμένη.
Συμπλήρωμα.
Για να δούμε και την απόδειξη του τετριμμένου.
Αν τότε τα ταυτίζονται και τελειώσαμε.
Διαφορετικά θα δείξουμε ότι έχουμε την διάταξη .
Γιατί σε διαφορετική περίπτωση η γωνία θα ήταν εσωτερική
τριγώνου που η απέναντι εξωτερική είναι
που δίνει ΑΤΟΠΟ.
(δεν χρειάζεται το αξίωμα των παραλλήλων)
Οτι θα χρησιμοποιήσω βρίσκεται στο σχολικό βιβλίο και οι
αποδείξεις εκεί δεν χρησιμοποιούν το αξίωμα των παραλλήλων.
Στο σχήμα του Μιχάλη (αν και δεν χρειάζεται σχήμα)
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι
Στην περίπτωση που είναι ίσες και τα τρία συμπίπτουν.
Εχουμε το ύψος ,διχοτόμος,διάμεσος.
Θεωρούμε ότι
Αυτό που θέλουμε να δείξουμε είναι στην ουσία ότι:
Για το πρώτο
Παίρνω το συμμετρικό του ως προς το ,έστω .
Είναι
Απο γνωστή πρόταση το βρίσκεται μεταξύ των και .
Ετσι
Για το δεύτερο.
Παίρνω το συμμετρικό του ως προς το έστω
Τα τρίγωνα είναι ίσα.
Ετσι
και
Επειδή από γνωστή πρόταση είναι
Αν τότε η απόδειξη για την διάμεσο παραμένει η ίδια
ενώ για το ύψος είναι σχεδόν τετριμμένη.
Συμπλήρωμα.
Για να δούμε και την απόδειξη του τετριμμένου.
Αν τότε τα ταυτίζονται και τελειώσαμε.
Διαφορετικά θα δείξουμε ότι έχουμε την διάταξη .
Γιατί σε διαφορετική περίπτωση η γωνία θα ήταν εσωτερική
τριγώνου που η απέναντι εξωτερική είναι
που δίνει ΑΤΟΠΟ.
-
- Δημοσιεύσεις: 2794
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Γνωστή πρόταση
Έστω ύψος διχοτόμος διάμεσος.Αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές τότεgeorge visvikis έγραψε: ↑Δευ Μαρ 30, 2020 4:31 pmΑς συγκεντρώσουμε εδώ, όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε για να αποδείξουμε τη γνωστή πρόταση:
Η διχοτόμος τριγώνου κείται μεταξύ του ύψους και της διαμέσου που άγονται από την ίδια κορυφή.
Υποθέτουμε ότι
άρα η διχοτόμος είναι αριστερά της διαμέσου
Ας υποθέσουμε ότι είναι μεταξύ των .Τότε άτοπο
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης