Σύγκριση κλασμάτων

venpan · #1

Να συγκριθούν $\frac{111112}{222223}$ και $\frac{222223}{333334}$

Σταμ. Γλάρος · #2

smarpant έγραψε:Να συγκριθούν $\frac{111112}{222223}$ και $\frac{222223}{333334}$

Καλησπέρα.
Πολύ καλή άσκηση για εμπέδωση της σύγκρισης κλασμάτων. Και μάλιστα για το Δημοτικό!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Φιλικά.
Σταμ. Γλάρος

kostanikolakopoulos · #3

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
smarpant έγραψε:Να συγκριθούν $\frac{111112}{222223}$ και $\frac{222223}{333334}$
Καλησπέρα.
Πολύ καλή άσκηση για εμπέδωση της σύγκρισης κλασμάτων. Και μάλιστα για το Δημοτικό!
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Το κλάσμα $\frac{111112}{222223} = \frac{1111120}{2222230}$ είναι λίγο μεγαλύτερο από το κλάσμα $\frac{1111115}{2222230}=\frac{2222230}{4444460}=\frac{222223}{444446}$ . Τώρα το κλάσμα $\frac{222223}{444446}$ είναι μικρότερο από το κλάσμα $\frac{222223}{333334}$ .
Συνεπώς το πρώτο κλάσμα είναι σαφώς μικρότερο του δευτέρου.
Κανονικά στην ύλη της Ε΄ Δημοτικού έπρεπε να έχει εμπεδωθεί ότι όσο μεγαλώνει ο παρονομαστής τόσο το κλάσμα μικραίνει! Δυστυχώς όμως (εκ ...πείρας το λέω ) δεν συμβαίνει αυτό! Ας ρίξουν μια ματιά , ειδικά όσοι συνάδελφοι έχουν παιδιά στο Δημοτικό, τι συμβαίνει με το βιβλίο της Ε΄ Δημοτικού. Με πολύ ενδιαφέρον θα άκουγα τις παρατηρήσεις τους για το συγκεκριμένο βιβλίο.
Φιλικά.
Σταμ. Γλάρος

Το βιβλίο της Ε' δημοτικού είναι αρκετά μπερδεμένο....η δασκάλα της κόρης μου επέλεξε να μην κάνει από το βιβλίο...είδε ποιά είναι η ύλη της Ε' δημοτικού την κατέγραψε....και την κάνει κομμάτι θεωρία στη συνέχεια παραδείγματα και κατόπιν πολλές ασκήσεις...απο οτι βλέπω στη κόρη μου ειναι πιο κατανοητό έτσι και έχει περισσότερο ώρεξη για το μάθημα....δεν είμαι μαθηματικος αλλά ηλεκτρολόγος μηχανικός πολυτεχνείου και συμφωνώ....

Grosrouvre · #4

smarpant έγραψε:Να συγκριθούν $\frac{111112}{222223}$ και $\frac{222223}{333334}$

Διαιρώντας τα κλάσματα, προκύπτει ότι:

$\displaystyle{\frac{\frac{222223}{333334}}{\frac{111112}{222223}} = \frac{222223^2}{111112 \cdot 333334} = \frac{222223^2}{ ( 222223 - 111111 ) \cdot ( 222223 + 111111 )} = \frac{222223^2}{222223 ^2 - 111111^2} > 1$ .

Άρα,

$\displaystyle{\frac{222223}{333334} > \frac{111112}{222223}$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #5

smarpant έγραψε:Να συγκριθούν $\frac{111112}{222223}$ και $\frac{222223}{333334}$

Μία άλλη λύση:

Θέτω $\alpha=\frac{111112}{222223}$ και $\beta=\frac{222223}{333334}$ Αφαιρώ καθ'ένα από το ένα. Αυτό που θα βγει με τη

μεγαλύτερη διαφορά θα είναι το μικρότερο. Δηλαδή:

$1-\frac{111112}{222223}= \frac{222223}{222223}-\frac{111112}{222223}=\frac{111111}{222223}$

και

$1-\frac{222223}{333334}=\frac{333334}{333334}-\frac{222223}{333334}=\frac{111111}{333334}$

Άρα $\boxed {\alpha<\beta}$

#6

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
smarpant έγραψε:Να συγκριθούν $\frac{111112}{222223}$ και $\frac{222223}{333334}$
Μία άλλη λύση:

Θέτω $\alpha=\frac{111112}{222223}$ και $\beta=\frac{222223}{333334}$ Αφαιρώ καθ'ένα από το ένα. Αυτό που θα βγει με τη

μεγαλύτερη διαφορά θα είναι το μικρότερο. Δηλαδή:

$1-\frac{111112}{222223}= \frac{222223}{222223}-\frac{111112}{222223}=\frac{111111}{222223}$

και

$1-\frac{222223}{333334}=\frac{333334}{333334}-\frac{222223}{333334}=\frac{111111}{333334}$

Άρα $\boxed {\alpha<\beta}$

#7

smarpant έγραψε:Να συγκριθούν $\frac{111112}{222223}$ και $\frac{222223}{333334}$

Αλλιώς: Πολύ εύκολα βρίσκουμε πολλαπλασιάζοντας χιαστί τις δύο ανισώσεις που ακολουθούν, ότι

$\frac{222223}{333334} > \frac {3}{5} > \frac{111112}{222223}$

Τελειώσαμε.

Σκέψη: Με το μάτι εύκολα βλέπουμε ότι $\frac{222223}{333334} \approx \frac {2}{3}$ και $> \frac{111112}{222223} \approx \frac {1}{2}$

Επειδή $\frac {2}{3} > \frac {1}{2}$ και με περίσσευμα, συγκρίνουμε τα αρχικά κλάσματα με το $\frac {3}{5}$ που είναι ανάμεσα στα $\frac {2}{3}\, , \frac {1}{2}$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #8

Μήπως υπάρχει κάποια άλλη λύση;

#9

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Μήπως υπάρχει κάποια άλλη λύση;

Τι δεν σου αρέσει από τις τρεις προηγούμενες;

Κατερινόπουλος Νικόλας · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Μήπως υπάρχει κάποια άλλη λύση;
Τι δεν σου αρέσει από τις τρεις προηγούμενες;

Το λέω γιατί σκέφτηκα μια άλλη. Αν δεν υπάρχει άλλη, πρέπει να έχω κάνει λάθος.( Δε νομίζω)

Κοιτάξτε:

Κάνω ομώνυμα τα κλάματα

, $\beta$ . Άρα:

$a=\dfrac{111112}{222223}=\dfrac{111112}{222223}\cdot\dfrac{333334}{333334}=\dfrac{37037407408}{74074481482}$

και

$\beta=\dfrac{222223}{333334}=\dfrac{222223}{333334}\cdot\dfrac{222223}{222223}=\dfrac{49383061729}{74074481482}$

Άρα $\boxed{a<\beta}$

#11

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Το λέω γιατί σκέφτηκα μια άλλη. Αν δεν υπάρχει άλλη, πρέπει να έχω κάνει λάθος.( Δε νομίζω)

Υπάρχουν πολλές άλλες λύσεις. 'Ομως εξυπακούεται ότι ο θεματοθέτης θέλει απλές και κομψές λύσεις, ΧΩΡΙΣ ΕΠΙΠΟΝΕΣ πράξεις.

Η δική σου, αν και σωστή, εμπίπτει στην κατηγορία των επίπονων πράξεων. Αν τις επιτρέπαμε, τότε η άσκηση θα μπορούσε να λυθεί απλά εκτελώντας την διαίρεση, χωρίς πολύ σοφία. Θα βρεις

$\displaystyle{ \frac{111112}{222223}= 0,50000225... }$ και $\displaystyle{\frac{222223}{333334}=0,66666766...}$

και λοιπά.

Έτσι όμως εργάστηκα ως Λογιστής, όχι ως Μαθηματικός.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Υπάρχουν πολλές άλλες λύσεις. Όμως εξυπακούεται ότι ο θεματοθέτης θέλει απλές και κομψές λύσεις, ΧΩΡΙΣ ΕΠΙΠΟΝΕΣ πράξεις.

Η δική σου, αν και σωστή, εμπίπτει στην κατηγορία των επίπονων πράξεων. Αν τις επιτρέπαμε, τότε η άσκηση θα μπορούσε να λυθεί απλά εκτελώντας

την διαίρεση, χωρίς πολύ σοφία. Θα βρεις

$\displaystyle{ \frac{111112}{222223}= 0,50000225... }$ και $\displaystyle{\frac{222223}{333334}=0,66666766...}$

και λοιπά.

Έτσι όμως εργάστηκα ως Λογιστής, όχι ως Μαθηματικός.

Κατάλαβα!!!

pro · #13

kostanikolakopoulos έγραψε:
Σταμ. Γλάρος έγραψε:
smarpant έγραψε:Να συγκριθούν $\frac{111112}{222223}$ και $\frac{222223}{333334}$
Καλησπέρα.
Πολύ καλή άσκηση για εμπέδωση της σύγκρισης κλασμάτων. Και μάλιστα για το Δημοτικό!
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Το κλάσμα $\frac{111112}{222223} = \frac{1111120}{2222230}$ είναι λίγο μεγαλύτερο από το κλάσμα $\frac{1111115}{2222230}=\frac{2222230}{4444460}=\frac{222223}{444446}$ . Τώρα το κλάσμα $\frac{222223}{444446}$ είναι μικρότερο από το κλάσμα $\frac{222223}{333334}$ .
Συνεπώς το πρώτο κλάσμα είναι σαφώς μικρότερο του δευτέρου.
Κανονικά στην ύλη της Ε΄ Δημοτικού έπρεπε να έχει εμπεδωθεί ότι όσο μεγαλώνει ο παρονομαστής τόσο το κλάσμα μικραίνει! Δυστυχώς όμως (εκ ...πείρας το λέω ) δεν συμβαίνει αυτό! Ας ρίξουν μια ματιά , ειδικά όσοι συνάδελφοι έχουν παιδιά στο Δημοτικό, τι συμβαίνει με το βιβλίο της Ε΄ Δημοτικού. Με πολύ ενδιαφέρον θα άκουγα τις παρατηρήσεις τους για το συγκεκριμένο βιβλίο.
Φιλικά.
Σταμ. Γλάρος
Το βιβλίο της Ε' δημοτικού είναι αρκετά μπερδεμένο....η δασκάλα της κόρης μου επέλεξε να μην κάνει από το βιβλίο...είδε ποιά είναι η ύλη της Ε' δημοτικού την κατέγραψε....και την κάνει κομμάτι θεωρία στη συνέχεια παραδείγματα και κατόπιν πολλές ασκήσεις...απο οτι βλέπω στη κόρη μου ειναι πιο κατανοητό έτσι και έχει περισσότερο ώρεξη για το μάθημα....δεν είμαι μαθηματικος αλλά ηλεκτρολόγος μηχανικός πολυτεχνείου και συμφωνώ....

Έθεσα τον προβληματισμό στη κόρη της φίλης μου να μου πει ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο το 2/4 ή το 4/8 και επειδή η δασκάλα της, της είχε πει πως όσο μεγαλώνει ο παρανομαστής μικραίνει το κλάσμα την πάτησε και μου έδωσε λάθος απάντηση. Για να της αποδείξω πως τα κλάσματα είναι ίσα (δεν ήθελα ακόμη να την μάθω απλοποίηση γιατί δεν γνωρίζει καλά-καλά προπαίδεια, πήρα ένα πακέτο ζάχαρη και μία ζυγαριά για να δει πως τελικά το αποτέλεσμα ήταν το ίδιο...

Τώρα θα της μάθω προπαίδεια με κάρτες και όταν δω πως θα την έχει μάθει άπταιστα, τότε θα της δίνω για παράδειγμα το 18 και θα της λέω να μου βρει ποιοι συνδυασμοί ισούνται με το 18 ή το 36 κτλ.

#14

pro έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 15, 2017 2:02 pm
Έθεσα τον προβληματισμό στη κόρη της φίλης μου να μου πει ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο το 2/4 ή το 4/8 και επειδή η δασκάλα της, της είχε πει πως όσο μεγαλώνει ο παρανομαστής μικραίνει το κλάσμα την πάτησε και μου έδωσε λάθος απάντηση. Για να της αποδείξω πως τα κλάσματα είναι ίσα (δεν ήθελα ακόμη να την μάθω απλοποίηση γιατί δεν γνωρίζει καλά-καλά προπαίδεια, πήρα ένα πακέτο ζάχαρη και μία ζυγαριά για να δει πως τελικά το αποτέλεσμα ήταν το ίδιο...

Τώρα θα της μάθω προπαίδεια με κάρτες και όταν δω πως θα την έχει μάθει άπταιστα, τότε θα της δίνω για παράδειγμα το 18 και θα της λέω να μου βρει ποιοι συνδυασμοί ισούνται με το 18 ή το 36 κτλ.

Καλημέρα.
Το πιο πιθανό είναι να είπε η δασκάλα το σωστό, αλλά κάποιοι μαθητές, να μην συγκράτησαν την φράση: "Όταν είναι ίδιος ο αριθμητής..."
Το έχω συναντήσει και σε ορισμένους μαθητές της Α Γυμνασίου (και όχι μόνο).

Σύγκριση κλασμάτων

Σύγκριση κλασμάτων

Re: Σύγκριση κλασμάτων

Re: Σύγκριση κλασμάτων

Re: Σύγκριση κλασμάτων

Re: Σύγκριση κλασμάτων

Re: Σύγκριση κλασμάτων

Re: Σύγκριση κλασμάτων

Re: Σύγκριση κλασμάτων

Re: Σύγκριση κλασμάτων

Re: Σύγκριση κλασμάτων

Re: Σύγκριση κλασμάτων

Re: Σύγκριση κλασμάτων

Re: Σύγκριση κλασμάτων

Re: Σύγκριση κλασμάτων

Μέλη σε σύνδεση