Ισοδύναμα κλάσματα

#1

Να βρεθεί το ανάγωγο κλάσμα $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ , με $\displaystyle{a>b>1}$ , το οποίο είναι ισοδύναμο με τα κλάσματα:

$\displaystyle{\frac{14x}{35}}$ και $\displaystyle{\frac{3x+35}{3y-10}}$ , όπου $\displaystyle{x , y}$ είναι φυσικοί αριθμοί.

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 26, 2023 7:40 pm
Να βρεθεί το ανάγωγο κλάσμα $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ , με $\displaystyle{a>b>1}$ , το οποίο είναι ισοδύναμο με τα κλάσματα:

$\displaystyle{\frac{14x}{35}}$ και $\displaystyle{\frac{3x+35}{3y-10}}$ , όπου $\displaystyle{x , y}$ είναι φυσικοί αριθμοί.

Το αριστερό κλάσμα είναι ίσο με $\displaystyle{\frac{2x}{5}}$ . Λύνοντας την $\displaystyle{\frac{2x}{5}}= \frac{3x+35}{3y -10}}$ θα βρούμε

$x=\dfrac { 5^2\cdot 7} {6y-35}$ . Για να είναι φυσικός πρέπει ο παρονομαστής να είναι θετικός και μικρότερος ή ίσος του αριθμητή. Δίνει $6 \le y \le 35$ .

Δοκιμάζουμε όλες αυτές τις τιμές του

. Αν δεν ξέχασα κανέναν (γιατί η διαδικασία είναι επίπονη) θα βρούμε τα ζεύγη φυσικών

α) y=6,x=175

, β)

, γ)

και δ)

.

Tα αντίστοιχα ανάγωγα κλάσματα είναι τα $70, \, 10,\, 14/5, \, 2/5$ . Το τελευταίο μπορούμε να το διώξουμε γιατί μας ζητά a>b>1

.

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 26, 2023 7:40 pm
Να βρεθεί το ανάγωγο κλάσμα $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ , με $\displaystyle{a>b>1}$ , το οποίο είναι ισοδύναμο με τα κλάσματα:

$\displaystyle{\frac{14x}{35}}$ και $\displaystyle{\frac{3x+35}{3y-10}}$ , όπου $\displaystyle{x , y}$ είναι φυσικοί αριθμοί.

Λίγο διαφορετικά:

Μετά από την απλοποίηση του αριστερού κλάσματος, έχουμε: $\displaystyle{\frac{2x}{5}=\frac{3x+35}{3y-10}}$ και άρα:

$\displaystyle{2x(3y-10)=5(3x+35)}$ , ή $\displaystyle{6xy-20x = 15x+5.35}$ , ή $\displaystyle{6xy-20x-15x = 5^2 .7}$ , ή $\displaystyle{6xy-35x = 5^2 .7}$

Άρα έχουμε: $\displaystyle{x(6y-35) = 5^2 .7}$ . Αφού όμως οι αριθμοί $\displaystyle{x , y}$ είναι φυσικοί, θα πρέπει το $\displaystyle{x}$ να παίρνει μία από

τις τιμές $\displaystyle{1 , 5 , 7 , 5^2 , 5.7 , 5^2 .7}$

Αν το $\displaystyle{x}$ πάρει τις τιμές $\displaystyle{1 , 5 , 5^2 ,5.7 , 5^2 .7}$ , τότε το κλάσμα $\displaystyle{\frac{2x}{5}}$ στην ανάγωγη μορφή του γίνεται

αντίστοιχα: $\displaystyle{\frac{2}{5} , \frac{2}{1} , \frac{10}{1} , \frac{14}{1} , \frac{70}{1}}$

και κανένα από αυτά δεν μπορεί να είναι το $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ που ζητάμε, αφού από την υπόθεση έχουμε $\displaystyle{a>b>1}$ .

Αν $\displaystyle{x=7}$ , (οπότε $\displaystyle{6y-35 = 5^2}$ και άρα $\displaystyle{y=10}$ ), τότε το κλάσμα $\displaystyle{\frac{2x}{5}}$ ισούται με $\displaystyle{\frac{14}{5}}$

το οποίο είναι ανάγωγο και ικανοποιεί τις προϋποθέσεις της εκφώνησης. Άρα $\displaystyle{\frac{a}{b} = \frac{14}{5}}$

Ισοδύναμα κλάσματα

Ισοδύναμα κλάσματα

Re: Ισοδύναμα κλάσματα

Re: Ισοδύναμα κλάσματα

Μέλη σε σύνδεση