Πολλαπλάσιο του 10

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό αριθμό , ο αριθμός , είναι πολλαπλάσιο του .

[Mihalis_Lambrou]

Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό αριθμό , ο αριθμός , είναι πολλαπλάσιο του .

Ένας τρόπος είναι με εξέταση του υπολοίπου του ως προς , και με βάση αυτό εξετάζουμε το υπόλοιπο ως προς της παράστασης. Επειδή ο τρόπος αυτός είναι αρκετά κοινός και υπάρχει στα σχολικά βιβλία, ας δούμε έναν αλλιώτικο.

Γράφουμε




Από τους προσθετέους, ο είναι γινόμενο διαδοχικών ακεραίων, άρα κάποιος παράγοντές του είναι πολλαπλάσιο του . Συνεπώς και ο ίδιος είναι πολλαπλάσιο του . Επίσης, είναι πολλαπλάσιο του καθώς κάποιος από τους είναι άρτιος. Άρα, τελικά είναι πολλαπλάσιο του .

Ο είναι πολλαπλάσιο του (το βλέπουμε). Επίσης, είναι πολλαπλάσιο του καθώς κάποιος από τους είναι άρτιος. Άρα, τελικά είναι πολλαπλάσιο του .

Συμπέρασμα: Ο αριθμός μας είναι άθροισμα δύο πολλαπλασίων του , άρα είναι πολλαπλάσιο του .

[Τσιαλας Νικολαος]

Καλησπέρα κύριε Δημήτρη. Σαν extra ερώτημα για λίγο μεγαλύτερες τάξεις θα μπορούσαμε να ζητήσουμε ότι είναι πολλαπλάσιο του 30

[Mihalis_Lambrou]

Καλησπέρα κύριε Δημήτρη. Σαν extra ερώτημα για λίγο μεγαλύτερες τάξεις θα μπορούσαμε να ζητήσουμε ότι είναι πολλαπλάσιο του 30

Σωστά. Η απόδειξη που έγραψα το δείχνει αυτό καθώς οι δύο προσθετέοι στην διάσπαση που έκανα είναι πολλαπλάσια του (περιέχουν από τρεις διαδοχικούς παράγοντες ο καθένας).

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Καλησπέρα κύριε Δημήτρη. Σαν extra ερώτημα για λίγο μεγαλύτερες τάξεις θα μπορούσαμε να ζητήσουμε ότι είναι πολλαπλάσιο του 30

Καλό βράδυ Νίκο.
Λίγο διαφορετικά από τον Μιχάλη:
Με βάση την απόδειξη που έγραψε ο Μιχάλης στο αρχικό θέμα , και το ότι θεωρείται γνωστό (σε όσους ασχολούνται με διαγωνισμούς) , ότι το γινόμενο διαδοχικών ακεραίων είναι πάντα πολλαπλάσιο του , δηλαδή του , έχουμε άμεσα το ότι ο αριθμός μας είναι πολλαπλάσιο του .
(Διότι ο αριθμός , ως γινόμενο διαδοχικών ακεραίων, είναι πολλαπλάσιο του , δηλαδή του , άρα και του

και επίσης ο αριθμός , ως γινόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων, θα είναι πολλαπλάσιο του , δηλαδή του και

συνεπώς ο , είναι πολλαπλάσιο του .

Άρα και το άθροισμά τους θα είναι επίσης πολλαπλάσιο του )

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Εκτός τον ωραίο τρόπο του Μιχάλη , με τον οποίο όπως είδαμε θα μπορούσαμε να απαντήσουμε άμεσα και στο ερώτημα που έθεσε ο Νίκος, μπορούμε να το δούμε και με τον εξής τρόπο, που είναι κατανοητός και από μαθητές ΣΤ Δημοτικού και Α Γυμνασίου:

Αν ο λήγει σε , τότε και ο θα λήγει σε αντιστοίχως και άρα ο θα λήγει σε

Έστω τώρα ότι ο , λήγει σε . Τότε ο , λήγει πάλι σε και συνεπώς ο ,λήγει σε

Έστω ο , λήγει σε . Τότε ο , λήγει επίσης σε και άρα ο λήγει σε .

Και ομοίως αν ο λήγει σε , τότε πάλι ο θα λήγει σε αντιστοίχως και άρα ο λήγει σε

Σε κάθε λοιπόν περίπτωση, έχουμε ότι ο , είναι πολλαπλάσιο του

ΣΗΜ: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό: Αντί του , είχα γράψει σε κάποια σημεία.

[KARKAR]

Δείτε παραπλήσιο θέμα στην ανάρτηση αυτή .

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Δείτε παραπλήσιο θέμα στην ανάρτηση αυτή .

Καλημέρα Θανάση.

Την έβαλα και στον φάκελο της Α Γυμνασίου, μιας και θα μπορούσε να γίνει κατανοητή (παίρνοντας απλές περιπτώσεις) ακόμα και σε παιδιά της ΣΤ Δημοτικού. Επίσης θεωρώ ότι είναι ένα χρήσιμο ΛΗΜΜΑ , για αντιμετώπιση άλλων συνθετότερων ασκήσεων. (Σαν αυτή που θα προτείνω για τον φάκελο της Γ Γυμνασίου , σε λίγο)