Τρεις αριθμοί

#1

Δίνονται οι τετραψήφιοι αριθμοί $\displaystyle{A=abca}$ και $\displaystyle{B=acba}$ καθώς και ο τριψήφιος $\displaystyle{C=abc}$ .

Αν ισχύει $\displaystyle{A-4C=B}$ , να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί.

Nikitas K. · #2

Καλημέρα,

$A = a \cdot 10^3 + b \cdot 10^2 + c \cdot 10^1 + a \cdot 10^0$
$B = a \cdot 10^3 + c \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + a \cdot 10^0$
$C = a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0$

Ισχύει ότι:
$A > 0 \Leftrightarrow a\geq 1$
και
$A-B>0\Leftrightarrow b \cdot 10^2 + c \cdot 10^1 > c \cdot 10^2+ b \cdot 10^1\Leftrightarrow b > c\Leftrightarrow b \geq 1$

Έχουμε ότι:
$A-B = 4C \Leftrightarrow 90b - 90c = 400a + 40b + 4c \Leftrightarrow 400a - 50b +94c = 0\Leftrightarrow 200a + 47c = 25b$
$\Leftrightarrow \frac{47c}{5} = 5b - 40a\in\mathbb{N} \Leftrightarrow 5 | 47c \Leftrightarrow c = 0 \vee c = 5$
Περιπτώσεις:

Αν $c = 0\Rightarrow 40a = 5b\Leftrightarrow b = 8a\Leftrightarrow a = 1 \wedge b = 8$ .

Αν $c = 5\Rightarrow 47 + 40a = 5b\Leftrightarrow 2 = 5(b-9-8a)$ , άτοπο.

Επομένως,

.

Τρεις αριθμοί

Τρεις αριθμοί

Re: Τρεις αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση