Άρτιοι και περιττοί αριθμοί

[Μπάμπης Στεργίου]

Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι άρτιοι και ποιοι περιττοί;

α)

β)

γ)

δ)

Μπάμπης

[mathxl]

Υπόδειξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ο φίλος μας ο Γκάους

[T-Rex]

ΓΕΙΑ ΣΑΣ!!!

[Μπάμπης Στεργίου]

Υπόδειξη

ο φίλος μας ο Γκάους

Μμμ !

Ίσως ο μαθητής εδώ δεν χρειάζεται να είναι τόσο έξυπνος όσο ο Gauss και να πάει να βρει την τιμή των αθροισμάτων. Μάλλον άλλον δρόμο πρέπει να ακολουθήσει !

Μπάμπης

[rek2]

Μμμ !

Ίσως ο μαθητής εδώ δεν χρειάζεται να είναι τόσο έξυπνος όσο ο Gauss και να πάει να βρει την τιμή των αθροισμάτων. Μάλλον άλλον δρόμο πρέπει να ακολουθήσει !

Μπάμπης

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Το πλήθος των περιττών, ε! Μπάμπη; Ή μήπως υπάρχει κάτι πιο καλό;

[Μπάμπης Στεργίου]

Το πλήθος των περιττών, ε! Μπάμπη; Ή μήπως υπάρχει κάτι πιο καλό;

Κώστα, καλή σχολική χρονιά και καλές εγγραφές !

Αυτό ακριβώς εννοώ !

Μπάμπης

[qwerty]

να ρωτήσω κάτι
θεωρειται γνωστό στην α γυμνασίου το οτι οι άρτιοι έχουν την μορφή 2ν και οι περιτοι την μορφή 2κ+1 και οτι αρτιος+αρτιος =αρτιος
περιτός+περιτός=αρτιος κτλ?

στο βιβλίο της α δεν το εχω βρεί πουθενα...

[ΑΡΣΕΝΟΗ]

Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι άρτιοι και ποιοι περιττοί;

α)

β)

γ)

δ)

Μπάμπης

Λίγο καθυστερημένη η απάντηση!
α)75-1+1=75. Το 75 είναι περιττός άρα ο αριθμός είναι περιττός.
β)το απάντησε ο T-rex
γ)επειδή ανεβαίνει κατά δύο και το 75 δε διαιρείται με το δύο ώστε να βρούμε το πλήθος του προσθέτουμε ένα και έχουμε 76:2=38 άρα είναι άρτιος.
δ)99-25+1=74+1=75 άρα είναι περιττός.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι άρτιοι και ποιοι περιττοί;

α)

β)

γ)

δ)

Μπάμπης

Λίγο καθυστερημένη η απάντηση!
α)75-1+1=75. Το 75 είναι περιττός άρα ο αριθμός είναι περιττός.
β)το απάντησε ο T-rex
γ)επειδή ανεβαίνει κατά δύο και το 75 δε διαιρείται με το δύο ώστε να βρούμε το πλήθος του προσθέτουμε ένα και έχουμε 76:2=38 άρα είναι άρτιος.
δ)99-25+1=74+1=75 άρα είναι περιττός.

Δεν ζητάει η άσκηση να βρεθεί το πλήθος των αριθμών αλλά το άθροισμα αν είναι αρτιος ή περιττός.

[T-Rex]

τωρα ειδα αυτο το κόλπο.....αρτιος+αρτιος=αρτιος π.χ. 4+6=10, 8+10=18
περιτος +περιτος=αρτιος π.χ. 9+9=18 , 13+13=26
αρτιος+ περιτός =περιτόςπ.χ.5+6=11, 9+8=17
Α. 1+2+3+4+5+6...........70+71+72+73+74+75
εχει 38 περιτούς και 37 άρτιους αν προσθεσουμε δύο δύο τους περιτούς θαγινουν19 αρτιοι.
και αν προσθέσουμε τους αρτιους μεταξυ τους θα μας δωσουν αρτιο.

[Μπάμπης Στεργίου]

τωρα ειδα αυτο το κόλπο.....αρτιος+αρτιος=αρτιος π.χ. 4+6=10, 8+10=18
περιτος +περιτος=αρτιος π.χ. 9+9=18 , 13+13=26
αρτιος+ περιτός =περιτόςπ.χ.5+6=11, 9+8=17
Α. 1+2+3+4+5+6...........70+71+72+73+74+75
εχει 38 περιτούς και 37 άρτιους αν προσθεσουμε δύο δύο τους περιτούς θαγινουν19 αρτιοι.
και αν προσθέσουμε τους αρτιους μεταξυ τους θα μας δωσουν αρτιο.

Άρκεί λοιπόν να βρούμε πόσοι περιττοί αριθμοί υπάρχουν σε κάθε άθροισμα !

Μπορείς να απαντήσεις και στις άλλες ερωτήσεις ; Προσπάθησε και εδώ είμαστε αν χρειαστείς βοήθεια !

Μπάμπης

[T-Rex]

Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι άρτιοι και ποιοι περιττοί;

β)

γ)

δ)

β) υπάρχουν 500 αρτιοι και 500 περιττοι αρα θα βγεί άρτιος
γ)υπάρχουν 38 περιττοί αρα θα βγουν 19 αρτιοι
δ)υπάρχουν 37 άρτιοι και 38 περιττοί θα βγεί αρτιος

[Ακριβη]

Γεια σας! Είμαι 13 και νομίζω ότι εχω βρει έναν γρηγορότερο τρόπο προσθέσεις αριθμών απο αυτόν του Γκαους.


1+2+3+4+5 = (5*6):2
Δηλαδή, πολλαπλασιάζω τον τελευταίο αριθμό της ακολουθίας με τον αμέσως επόμενο.Αυτο δεν ισχύει όταν η ακολουθία δεν ξεκινάει απο 1. Όμως, βρηκα ότι για να ισχύσει θα πρέπει να πολλαπλασιάσω τον τελευταίο αριθμό της ακολουθίας με τον αμέσως επόμενο, και να διεραισω με το γινόμενο του δυο και του λόγου της ακολουθίας.Πρεπει, όμως, η ακολουθία να ξεκινάει με τον λόγο της.

Θα μπορούσε κάποιος να μου πει εάν αυτό ισχύει?

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Γεια σας! Είμαι 13 και νομίζω ότι εχω βρει έναν γρηγορότερο τρόπο προσθέσεις αριθμών απο αυτόν του Γκαους.


1+2+3+4+5 = (5*6):2
Δηλαδή, πολλαπλασιάζω τον τελευταίο αριθμό της ακολουθίας με τον αμέσως επόμενο.Αυτο δεν ισχύει όταν η ακολουθία δεν ξεκινάει απο 1. Όμως, βρηκα ότι για να ισχύσει θα πρέπει να πολλαπλασιάσω τον τελευταίο αριθμό της ακολουθίας με τον αμέσως επόμενο, και να διεραισω με το γινόμενο του δυο και του λόγου της ακολουθίας.Πρεπει, όμως, η ακολουθία να ξεκινάει με τον λόγο της.

Θα μπορούσε κάποιος να μου πει εάν αυτό ισχύει?

Καλώς ήλθες Ακριβή στο mathematica. Χαιρόμαστε να βλέπουμε μικρούς μαθητές να έχουν την όρεξη να κάνουν τις δικές τους παρατηρήσεις πάνω σε τέτοια θέματα.
Αυτό που έγραψες είναι σωστό.
Δηλαδή ισχύει ότι

Γενικότερα θα μάθεις σε πιο μεγάλη τάξη , ότι αν μια ακολουθία αριθμών είναι τέτοια, ώστε κάθε επόμενος όρος να προκύπτει από τον προηγούμενο του , αυξημένο κατά έναν σταθερό αριθμό , ονομάζεται αριθμητική πρόοδος και το άθροισμα όλων των όρων της δίνεται από τον τύπο:

και μάλιστα ο τελευταίος όρος , δίνεται από τον τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί το άθροισμα: , όπου ο είναι ο ογδοηκοστός κατά σειρά αριθμός.

ΛΥΣΗ:

Παρατήρησε ότι στην πιο πάνω ακολουθία, κάθε όρος (από τον δεύτερο και μετά) προκύπτει αν στον προηγούμενο του προσθέσουμε το

Άρα η ακολουθία αυτή είναι μια αριθμητική πρόοδος, όπου ο πρώτος όρος της είναι ο , ο δεύτερος είναι ο ,

ο τρίτος είναι ο , κλπ, και ο ογδοηκοστός όρος θα είναι ο

Άρα το άθροισμα όλων των όρων θα είναι:



Φυσικά, το πιο πάνω άθροισμα , θα μπορούσες απ ευθείας να το βρεις από τον τύπο που σου έγραψα, αφού έχεις

, οπότε